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与圆有关计算(三大考点+5种类型阴影面积)
考点1: 弧长、扇形面积的有关计算
扇形:(1)弧长公式:;
(2)扇形面积公式:
:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积
考点2: 圆锥的有关计算
圆锥侧面展开图
(1)=
(2)圆锥的体积:
注意:圆锥的底周长=扇形的弧长()
考点3: 阴影部分面积的计算
类型一:直接法
所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时,直接用面积公式进行求解.
类型二:直接和差法
所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形面积相加减.
类型三:构造和差法
所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形,然后进行相加减.构造图形时一般先观 察阴影部分图形:
1.若阴影部分图形有一部分是弧线,找出弧线所对应的 圆心,连接弧线端点与圆心构造扇形;
2.若阴影部分是由图形旋转构成,旋转中心即为圆心, 分别将旋转前后的对应点连接,端点与旋转中心连接 构造扇形.
类型四:等积转化法
利用等积转化将所求阴影部分面积转化为求扇形、 三角形、特殊四边形的面积或它们面积的和差
类型五:容斥原理法
当阴影部分是由几个图形叠加形成时,求解阴影部分面积需先找出叠加前的几个图形,然后理清图形之间 的重叠关系.计算方法为:阴影部分面积=叠加前的几个 图形面积之和-(多加部分面积+空白部分面积).
如图,阴影部分是扇形CAE 和扇形CBD 的重叠部分,则
S阴影 =S扇形CAE +S扇形CBD -S△ABC .
【考点1 弧长、扇形面积的有关计算】
【典例1】(2022?丹东)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,OC,若AB=6,∠A=30°,则的长为( )
A.6π B.2π C.π D.π
【变式1-1】(2022?大名县三模)已知一个扇形的圆心角为120°,半径是6cm,则这个扇形的弧长是( )
A.8π B.6π C.4π D.2π
【变式1-2】(2022?广西)如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB′C′,连接B′C并延长交AB于点D,当B′D⊥AB时,的长是( )
A.π B.π C.π D.π
【变式1-3】(2022?河北)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P=40°,则的长是( )
A.11πcm B.πcm C.7πcm D.πcm
【考点2 圆锥的有关计算】
【典例2】(2022?牡丹江)圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,它的侧面展开图的圆心角是( )
A.90° B.100° C.120° D.150°
【变式2-1】(2022?南丹县二模)如图,圆锥体的高,底面圆半径r=1cm,则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【变式2-2】(2022春?张湾区校级月考)如图,小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面,已知扇形的圆心角为216°,面积是15πcm2,那么这个圆锥的底面半径是( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
【典例3】(2022?济宁)已知圆锥的母线长8cm,底面圆的直径6cm,则这个圆锥的侧面积是( )
A.96πcm2 B.48πcm2 C.33πcm2 D.24πcm2
【变式3-1】(2022?柳州)如图,圆锥底面圆的半径AB=4,母线长AC=12,则这个圆锥的侧面积为( )
A.16π B.24π C.48π D.96π
【变式3-2】(2022?大庆)已知圆锥的底面半径为5,高为12,则它的侧面展开图的面积是( )
A.60π B.65π C.90π D.120π
【考点3 直接和差法】
【典例3】(2022?鞍山)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=,以点B为圆心,BA长为半径画弧,交CD于点E,连接BE,则扇形BAE的面积为( )
A. B. C. D.
【变式3-1】(2022?长春一模)如图,圆心重合的两圆半径分别为4、2,∠AOB=120°,则阴影部分图形的面积为( )
A.4π B.π C.8π D.16π
【变式3-2】(2022?巩义市模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,分别以点A,B,C为圆心,AB的长为半径画弧,与该三角形的边相交,则图中阴影部分的面积为( )
A.96﹣π B.96﹣25π C.48﹣π D.48﹣π
【典例4】(2022?重庆)如图
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