糖水不等式完整版.ppt

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二、不等式的证明方法 一、糖水不等式(调日术,插值定理) 若 ,a,b,c,d,m,n>0,则 附录23 糖水不等式 三、糖水不等式的简单应用 一、糖水不等式(调日术,插值定理) 若 ,a,b,c,d,m,n>0,则 特例2:若 ,a,b,m>0,则 特例1:若 ,a,b,m>0,则 用化学溶液的浓度:解释此不等式,是显然成立的 用数学知识,如何证明此不等式成立? 2.综合法 二、不等式的证明方法 1.比较法 3.分析法 5.放缩法 4.数学归纳法 7.辅助函数法…… 作差比较法 作商比较法 证明:若 ,a,b,m>0,则 用化学溶液的浓度:解释此不等式,是显然成立的 文字语言:小于1的比值,分子分母加同一正数后放大 6.反证法 形法 数法 注:作差比较法简介: A-B=…= x1 ·x2· x3 · · · xn x21+x22 + · · · +x2n O 法1:比较法 作差变形三判断 不是化简是变形 变到显然与 O比 因式分解及配方 因 所以 又a,b,m>0,且b-a>0 证明: 证明:若 ,a,b,m>0,则 法2:综合法: 即 故 证明:若 ,a,b,m>0,则 法3:分析法:欲证 而此式显然成立 证明:若 ,a,b,m>0,则 法4:辅助函数法 设 ,且 因 ,且 故 f(x) 在R+上为增函数 ,即 f(0) ≤ f(x)在R+上恒成立 所以 证明:若 ,a,b,m>0,则 法5:放缩法① > 法6:放缩法② 证明:若 ,a,b,m>0,则 法7:形法:如图 朒数:朔日月亮…… 盈数:望日月亮…… 朒数=3.1415926 盈数=3.1415927 正数(圆周率)在盈朒二限之间 祖冲之,在世界数学史上第一次将圆周率值计算到小数点后七位,即3.1415926到3.1415927之间 三、糖水不等式的简单应用 1.调日术: 约率 密率 ① ② ③ 用糖水不等式逐步调整π的精确度到小数点后七位 练习1.比较 的大小 解: 即 因 故 因 故 析:小于1的比值,分子分母加同一正数后放大 试比较 M 与 N 的大小 练习2.设 解: 故 因 故住宅的采光条件是变好了 练习3.建筑学规定:民用住宅的窗户面积必须小于 地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的 比应不小于10%。并且这个比例越大,采光条件越好 问同时增加相同的窗户面积和地板面积,住宅的采光 条件是变好了还是变坏了? 解:设窗户面积为a,地板面积为b,增加的面积为m 显然有a,b,m>0,且b>a 由题设及“糖水不等式”可得 练习4.一只口袋里装有m个红球和n个白球。 (1)从口袋里任意摸出一个球,恰是红球的概率是多少? (2)再向口袋里放入2个红球,则从口袋里任意摸出一个球 恰好是红球的概率是变大还是变小?说明理由。 解: (1) 由古典概型可得所求概率 (2) 由古典概型定义可得所求概率 由“糖水不等式”可知,该事件的概率变大了

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