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第一章非线性动力学分析方法(6学时)
一、 教学目标
1、 理解动力系统、相空间、稳定性的概念;
2、 掌握线性稳定性的分析方法;
3、 掌握奇点的分类及判别条件;
4、 理解结构稳定性及分支现象;
5、 能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、 教学重点
1、 线性稳定性的分析方法;
2、 奇点的判别。
三、 教学难点
线性稳定性的分析方法
四、 教学方法
讲授并适当运用课件辅助教学
五、 教学建议
学习本章内容之前,学生要复习常微分方程的内容。
六、 教学过程
本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法,但这些方法在应用上是十分有效的。
1.1相空间和稳定性
一、动力系统
在物理学中,首先根据我们面对要解决的问题划定系统,即系统由哪些要素组成。 再根据研究对象和研究目的,按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变 量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程,这些微分方程构成 的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称 为动力学。
假定一个系统由n个状态变量气,气,…气来描述。有时,每个状态变量不但是时 间t的函数而且也是空间位置F的函数。如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它 们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t有关,即X.=X. (t), 则控制它们的方程组为常微分方程组。
dX 1
dX 1dt
=瑚,X1,X 厂 X「
dX布=槌
dX
布=槌 X1,X 2,…X〃)
(1.1.1)
dX=f
dX
=fn (X, X 1, X 2,..? X〃)
其中X代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说,f (i = l,2,???n)一般是kJ的非 线性函数,这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于打}不明显地依赖时间t,故称 i
方程组(1.1.1)为自治动力系统。若f }明显地依赖时间t,则称方程组(1.1.1)为非自治动 i
力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。
对于非自治动力系统,总可以化成自治动力系统。
例如:x + x = A cos(w t)
r?
'
令 x = y , z = st,上式化为 < y = - x + A cos z
Z =s
上式则是一个三维自治动力系统。
又如:u = f (u, v, t),
又如:
v = g (u, v, t).
u = f (u, v, w),
令 w = t,则化为 < v = g (u, v, w),
W = 1.
它就是三微自治动力系统.
对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程,不但要 给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。
能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的,大多数只能求数值解或近似解析 解。
二、相空间
由n个状态变量kJ = (X], X2,???Xn)描述的系统,可以用这n个状态变量为坐标 轴支起一个n维空间,这个n维空间就称为系统的相空间。在t时刻,每个状态变量都 有一个确定的值,这些值决定了相空间的一个点,这个点称为系统状态的代表点(相点), 即它代表了系统t时刻的状态。随着时间的流逝,代表点在相空间划出一条曲线,这样 曲线称为相轨道或轨线。它代表了系统状态的演化过程。
三、稳定性
把方程组(1.1.1)简写如下
(1.1.2)竺=f (人,X , X,?--X ), i=l,2,-n
(1.1.2)
dt i 1 2 n
设方程组(1.1.2)在初始条件Xj (t0) = X0下的解为Xj (t),如果用与原来略有差别的初
始条件X:(t°) = X?+气,气是一个小扰动,就会得到方程组的新解X:(t)。如果对于任 意给定的8 >0,存在6 >0,并且州<5,当t > t°时也满足
(1.1.3)X(t)-X.(t)|<8,i=l,2,-n 则称方程组(1.1.2)的解X, Q)是稳定的,否则它就是不稳定的。这样定义的稳定性称为 Lyapunov稳定性。
(1.1.3)
如果X〔 (t)是稳定的,并且满足极限条件
lim|X (t) - X '(t)| = 0,i=l, 2,-n (1.1.4)
t s 1 1
则称Xj (t)是惭近稳定的。
上述抽象的数学定义可以直观理解为:方程组(1.2)对于不同的初始条件有不同的 解,如果原初始条件X〔(七)和受扰动后的初始条件X; (t 0)之差限定在一定的范围内,即 |X'(t )-X (t )| <5,未扰动解X (t)和扰动解X’(t)之差也不超出一定的范围,即 0 i 0 j j
|X;(t) - X〔 (tg,则末扰动解X, (t)就是稳定的;如果X;(t)渐渐趋近于X, (t),最终变 得和Xj (t) 一致,则称Xj (t)是渐近稳定的;如果X;
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