圆锥曲线运算的“瘦身”策略.docx

圆锥曲线运算的“瘦身”策略 浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平 圆锥曲线综合问题的求解是每年高考必考内容之一，它求解的思路清晰，下手较容易，它又离不开运算，而过于繁琐的运算不单影响解题的速度，也极易容易错解，造成“有始无终”困惑，而要快速、正确地解题的重点就是要尽量简化运算量，下面就介绍几种圆锥曲线中常有的“瘦身”方法。 一、成立适合的坐标系 例1.已知B,C是两个定点，BC 6，且 ABC的周长等于 16，求极点A的轨迹方程 剖析：在解析几何里，求切合某种条件的点的轨迹方程，要成立适合的直角坐标系。为选择适合的坐 标系，常画出简图；由题意，能够选择以B,C所在直线为x轴，以线段BC的 y 中垂线为y轴建系最为适合。 Ａ 解：如图１，以 B,C所在直线为x轴，以线段BC的中垂线为 y轴成立 Ｂo Ｃ x AB AC BC16,BC 6， 图１ 直角坐标系。由 AB AC 10 BC 6，由椭圆第一定义得，点A轨迹是以B,C为焦点的椭圆，且2c 6,2a 10， c 3,a5,b2 a2 c2 16，由点A在直线BC上时，即y 0，A,B,C不组成三角形，故点 A轨 迹方程为x2 y2 1y 0 25 16 【点评】成立适合的坐标系，可简化解题的过程。本题以两定点所在直线为x轴，以定点线段的中垂线为y轴建系，切合了圆锥曲线标准方程的要求，直策应用定义便可获得它的轨迹，进而求的轨迹方程。 二、设而不求，整体代换 例2.椭圆x2y21中，过点P1,1的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在的直线方程。 42 剖析：过P点的弦AB与椭圆相交，能够设出直线方程与椭圆方程联立方程组，现联合韦达定理，再利用已知点P为弦AB中点，求出直线的斜率，进而求的直线方程，也可应用点差法解之。 解：设Ax1，y1、Bx2，y2 ，则 x12 2y12 2 1 x22 2y22 2 2 由1－2得：x1 x2 x1 x2 2y1 y2 y1 y2 0 （*）， 显然x1 x2时不知足条件，故 x1 x2 0，将（*）式两边同除x1 x2，得 x1x2 y1 y2 0， 点P1,1的弦AB中点， x1 x2 2,y1 y22， 2y1y2 x2 x1 故直线AB的斜率为：y1 y2 1，故弦AB所在直线的方程为： y 1 1 x 1，即x2y30 x1 x2 2 2 【点评】与弦中点的相关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹； 求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量，它的本质是设出A，B两点坐标，但 不直接求解，而是作为中间量过渡，即设而不求，巧妙地将复杂的运算简化掉了，进而达到“瘦身”的目的 三、求本溯源，回归定义 椭圆中很多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的计算和定 性的剖析有机地联合起来，则能够大大地减少运算量。 y 例3．已知定点N(3,1)及双曲线x2 y2 Q P 1上一动点P，点F是它 N 4 4 T M 的右焦点，求当PF ePN取最小值时， P点的坐标。 o F x 剖析：本题从函数角度考虑习惯上会令P(x,y)，获得 PFePN (x22)2 y2 2 (x 3)2 (y 1)2 f(x,y) 图2 ，转变为求f(x,y)取最小值时的 x,y值，困难较大；题中因波及曲线上点到焦点距离问题， 我们不妨“求 本溯源”，回到双曲线第二定义去解本题，会给人一种“峰回路转又一村”的感觉。 解：如图2，过P作双曲线的右准线 l的垂线，垂足记为 Q；过N作右准线l垂线，垂足为T，交双 曲线右支为 M。根据双曲线第二定义知： PF ePQ， PF ePNe(PQ PN) eNT，当 且仅当P,Q分别与M,T重合时等号成立，可解得 P( 5,1)。 【点评】求解过程运用联合了圆锥曲线的第二定义，这种回归定义的方法，防止了复杂的函数求最值的代数运算。 四、巧用几何性质，数形联合 例4．如图3，过椭圆左焦点F且倾斜角为60 y 的直线交椭圆于 H N A A,B两点，若FA 2FB，求椭圆的离心率。 M F o x 剖析：因AB为过焦点的焦点弦，若用焦半径来求离心率太复 B 图3 杂，运算量过大。由已知的焦半径长，联想到椭圆的第二定义，如图 3，对直角梯形 ABMH的几何性质进行剖析。 N， 解：过A、B分别作左准线的垂线，垂足分别为 H、M，并过B作HA的垂线，垂足为 AF AF ，同理，BM BF 由椭圆的第二定义得， AH e即AH 。 e e 在RtABN中，ABN 30，AN AF BF2BFBF BF e e e , e AB BF ，而AB AFBF 3BF BF 2 AN e 3BF， ，故 e 2 2 e 3 【点评】本题充分运用了图形的几何性质，即直角