圆锥曲线抛物线题库含详解高考必备.docx

5、(安徽省皖南八校2008 届高三第一次联考 )已知线段AB过y轴上一点P(0,m)，斜率为k， 两头点A，B到y轴距离之差为4k (k 0)， （1）求以O为极点，y轴为对称轴，且过 A，B两点的抛物线方程； （2）设Q为抛物线准线上随意一点，过 Q作抛物线的两条切线，切点分别为 M，N， 求证：直线MN过一定点； 解：（1）设抛物线方程为 x2 2py(p 0)，AB的方程为y kx m， 联立消y整理，得x2 2pkx 2pm 0；∴x1 x2 2pk， 又依题有|x1 x2| 4k 2pk ，∴p 2，∴抛物线方程为 x2 4y； （2）设M(x,x12)， N (x , x22)，Q(x 0 ,1) ，∵k MQ x1， 4 2 4 ∴MQ的方程为y x12 x1 (x x1) x12 2x1x 4y 0 ； 4 2 ∵MQ过Q，∴x12 2 x1x0 4 0，同理x22 2x2x0 4 0 ∴x1,x2为方程x2 2x0x4 0的两个根；∴ x1x2 4； 又kMN x1 x2，∴MN的方程为y x12 x1 x2(x x1) 4 4 4 ∴y x1 x2x 1，显然直线MN过点(0,1) 4 已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点 Q在x轴的正半轴上，点 M在直线PQ上,且 知足2PM 3MQ 0，RPPM 0. （Ⅰ）⑴当点 P在y轴上移动时，求点 M的轨迹C的方程； （Ⅱ）设A(x1,y1)、B(x2 ,y2)为轨迹C上两点，且 x1 1, y1 0，N(1,0)，求实数 ， 使AB AN，且 16 AB. 3 解：(Ⅰ)设点M(x,y) ，由2PM 3MQ 0得P(0， y)，Q(x,0). 2 3 由RPPM 0,得(3， y)·(x，3y)＝0,即y2 4x 2 2 又点Q在x轴的正半轴上， x0故点M的轨迹C的方程是 y24x(x0).6分 （Ⅱ）解法一：由题意可知 N为抛物线 C:y2＝4x 的焦点，且 A、B为过焦点 N的 直线与抛物线 C的两个交点。 当直线AB 斜率不存在时，得 A(1,2)，B(1,-2) ，|AB| 4 16，不合题意； 7 3 分 当直线AB斜率存在且不为0时，设 lAB : ykx ( 1 2 4x 得 ，代入y k2x2 2(k2 2)x k2 0 则|AB| x1 x2 2 2(k2 2) 2 4 4 16 ,解得k2 3 k2 k2 3 10分 代入原方程得 3x2 10x 3 0，由于x1 1，所以x1 3,x2 1, 3 x2 x1 3 1 4 由AB AN，得 3 xN x1 3 1 . 3 10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线C:yax2，点P（1，－1）在抛 物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A x1，y1），B（x2，y2），且知足k1+k2=0. I）求抛物线C的焦点坐标； （II）若点M知足BM MA，求点M的轨迹方程. 解：（I）将P（1，－1）代入抛物线 C的方程y ax2 得a=－1， ∴抛物线C的方程为y x2，即x2 y. 焦点坐标为F（0，－ 1）. 4分 4 （II）设直线PA的方程为y1 k1(x 1)， y1 k1(x 1), k1x k11 0, 联立方程 y x2. 消去y得x2 则1 x1 k1 1,即x1 k1 1. 由 k12 4( k11) (k1 2)2 0,得k1 2.7分 同理直线PB的方程为y 1 k2(x 1), y1k2(x 1), k2x k21 0, 联立方程 y x2. 消去y得x2 则1 x2 k2 1,即x2 k2 1.且k2 2. 又 k1 k2 0, k1 2. 9分 设点M的坐标为（x，y），由BM MA,则x x1 x2. 2 x k1 1k2 1 2(k1 k2). 2 2 又 k1 k2 0, x 1. 11分 y y1 y2 x12 x 22 (k1 1)2 (k2 1)2 (k1 1)2 (k11)2 2 2 2 2 (k12 1) 1, 又k1 2, y 5. ∴所求M的轨迹方程为： x 1(y 1且y 5). 15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛 物线y24x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当 直线l与x轴垂直时， （Ⅰ）求椭圆的方程；  CD 22． AB  y C A （II）求过点O、F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （Ⅲ）求F2AF2B的最大值和最小值． F1O F2 x B 解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点 F1( 1,0)． x2 y2 D 设椭圆的方程： 1(a b 0)． a2 b2 解方程组 y