圆锥曲线光学性质的证明及应用初探.docx

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 ———源于课本一份《阅读材料》的探究反省 内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王珏指导教师：张红 学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料惹起了同 学们的兴趣，在老师的指导下，我们不单认识了圆锥曲线的光学性质这一 常有现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产 科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反省与整理，写成此文。 一、圆锥曲线的光学性质 1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反 射光芒都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设施或聚热装置．比如在 F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热． 1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射 后，反射光芒的反向延伸线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)． 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实 际应用． 1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射 后，反射光芒都平行于抛物线的轴（如图 1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最正确选择．例 如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点 处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可经过转动抛物 线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗同样接收或发射天线，一 1 般也是以抛物线绕对称轴旋转获得的，把接收器置于其焦点，抛物线的对 称轴追踪瞄准卫星，这样能够把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限 度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把 对称轴追踪瞄准卫星，则能够使发射的电磁波讯号射线能平行地抵达卫星 的接收装置，同样保证接收效果．最常有的太阳能热水器，它也是以抛物 线镜面齐集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． B D AF2 F2OF1F1 图1.1 图1.2图1.3 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转 化为数学识题，进行解释论证。 二、问题转变及证明 2．1圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续改动时，P，Q两点沿着曲线渐渐凑近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。 此时，我们能够借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转变： 2.2圆锥曲线光学性质的证明 预备定理1. 若点P(x0 x2 y2 1上任一点，则椭圆过该点的切 ,y0)是椭圆 2 b 2 a 线方程为： x0x y0y 1。 2 2 a b 2 2 2 2 证明：由y2 1 x2 y2 b2(1 x2)① b a a 1°当x a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k y|xx0 ∴对①式求导：2yy 2b 2 a2 x0 ∴k y|xx0 b2x 0∴切线方程为y y0 b2x0 (xx0)② 2 2 y ay 0 a 0 ∵点P(x0,y0)在椭圆 x2 y2 1上， a 2 b 2 x02 y02 1代入②得 x0xy0y 1③ 故 b2 a2 b2 a2 而当x a时，y0 0 切线方程为x a，也知足③式 x0x y0y 1是椭圆过点P(x0,y0)的切线方程. 故 2 b 2 a 预备定理2. 若点P(x0,y0)是双曲线 x2 y2 1上任一点，则双曲线过该 a 2 b 2 点的切线方程为： x0x y0y 1 a2 b2 y2 x2 1 y 2 b 2 x2 1) 证明：由b2 a2 ( ① a2 1°当x a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k y|xx0 ∴对①式求导： 2yy 2b2 x0 ∴ ky|xx b2x0 a 2 0 a 2 y 0 ∴切线方程为y y0 b2x0 (xx0)② a 2 y0 ∵点 x2 y2 1上， P(x0 ,y0)在双曲线a2 b2 3 x2 y2 1代入②得 xx y y 1③ 故 0 0 0 2 0 a a b b 而当x a时，y00 切线方程为x a，也知足③式 故 x0xy0y 1是双曲线过点P(x0,y0)的切线方程. a 2 b 2 预备定理3.若点P(x0,y0)是抛物线y22px上任一点，则抛物线过该点的 切线方程是y0y p(xx0) 证明：由y2 2px，对x求导得：2yy2pk y|xx0 p y0 当y0 0 时，切线方程为yy p(xx0) y0 即y0y y02 px px0 而y02 2px0 y0y p(xx0)① 而当y0 0,x0 0时，切线方程为x0 0也知足①式 故抛物线在该点的切线方程是y0yp(x x0). 定理1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角