统计分析方法8.ppt

STATISTICAL METHODSFor Master Candidates 2009Sun XinSchool of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics 目 录第一讲 前言第二讲 基础知识第三讲 总体参数的估计第四讲 总体参数的检验第五讲 相关与回归分析第六讲 列联表第七讲 方差分析第八讲 主成分与因子分析第九讲 聚类与判别分析第十讲 典型相关与对应分析第十一讲 时间序列分析第十二讲 非参数检验第十三讲 生存分析第十四讲 统计综合评价第十五讲 前沿分析方法（一）第十六讲 前沿分析方法（二） 第八讲 主成分与因子分析 汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？ 当然不能。你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚。 主成分分析每个人都会遇到有很多变量的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析（principal component analysis）和因子分析（factor analysis）。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。 一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量就取代了原17个变量。根据经济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势F3。斯通将他得到的主成分与实际测量的总收入I、总收入变化率?I以及时间t因素做相关分析，得到下表：8.1.1 基本思想8.1 主成分分析 ?F1F2F3iΔitF11?????F201????F3001???i0.995-0.0410.0571??i-0.0560.948-0.124-0.1021?t-0.369-0.282-0.836-0.414-0.1121 主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂关系进行简化分析的方法。 在社会经济的研究中，为了全面系统的分析和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征，但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相关性。 主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。 在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是： （1）基于相关系数矩阵还是基于协方差矩阵做主成分分析。当分析中所选择的经济变量具有不同的量纲，变量水平差异很大，应该选择基于相关系数矩阵的主成分分析。 （2）选择几个主成分。主成分分析的目的是简化变量，一般情况下主成分的个数应该小于原始变量的个数。关于保留几个主成分，应该权衡主成分个数和保留的信息。 （3）如何解释主成分所包含的经济意义。 8.1.2数学模型与几何解释 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…，Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息，并且相互独立。 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求原指标的线性组合Fi。 满足如下的条件：主成分之间相互独立，即无重叠的信息。即主成分的方差依次递减，重要性依次递减，即每个主成分的系数平方和为1。即 为了方便，我们在二维空间中讨论主成分的几何意义。 设有n个样品，每个样品有两个观测变量xl和x2，在由变量xl和x2 所确定的二维平面中，n个样本点所散布的情况如