2024届一轮复习北师大版 17 数列综合应用之数学归纳法 学案.docx

目录 TOC \o 1-3 \h \z \u 数列问题之数学归纳法 2 【课前诊断】 2 【知识梳理】 3 【典型例题】 4 【小试牛刀】 12 【巩固练习——基础篇】 15 【巩固练习——提高篇】 18  数列问题之数学归纳法 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1. 数列的通项公式,设其前项和为,则等于 A．100 B. C. 200 D. 【答案】：B 2.设数列为等差数列, 为数列的前项和,已知. （Ⅰ）求数列的通项公式与前项和公式; （Ⅱ）设为数列的前项和,求. 【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ） 3. 已知等差数列的前项和为Sn，等比数列的前项和为Tn，满足 . （Ⅰ）求数列,通项公式; （Ⅱ）设,求数列的前项和 【答案】：（Ⅰ）设公差为等差数列的前项和为Sn, 公比为的等比数列的前项和为Tn，满足 所以，解的，所以；. （Ⅱ）由于；所以  【知识梳理】 1.数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明 2.第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立 3.第一归纳法要注意的地方： （1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始 （2）归纳假设中，要注意，保证递推的连续性 （3）归纳假设中的，命题成立，是证明命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找与的联系 4.第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立  【典型例题】 例1.用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上(　　)． A． B． C. D． 答案　∵当时，左侧＝， 当时， 左侧＝， ∴当时，左端应在的基础上加上 . 选D 练1.下列代数式能被9整除的是(　　) A． B． C． D． 答案(1)当时，显然只有能被9整除． (2)假设当时，命题成立，即能被9整除， 那么 这就是说，时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何都成立． 选D  练2.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上(　　)． A. B． C. D. 答案　∵当时，左侧＝，当时， 左侧＝ 选C 练3.用数学归纳法证明： eq \f(12,1×3)＋eq \f(22,3×5)＋…＋eq \f(n2,(2n－1)(2n＋1))＝eq \f(n(n＋1),2(2n＋1))；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是　　　　　. 答案 当n＝k＋1时， eq \f(12,1×3)＋eq \f(22,3×5)＋…＋eq \f(k2,(2k－1)(2k＋1))＋eq \f((k＋1)2,(2k＋1)(2k＋3)) ＝eq \f(k(k＋1),2(2k＋1))＋eq \f((k＋1)2,(2k＋1)(2k＋3)) 故只需证明eq \f(k(k＋1),2(2k＋1))＋eq \f((k＋1)2,(2k＋1)(2k＋3)) ＝eq \f((k＋1)(k＋2),2(2k＋3))即可. 例2.已知等比数列的首项，公比，设是它的前项和，求证： 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：，时，不等式为；当时，所证不等式为，可明显看到与中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明 证明：，所证不等式为： ，下面用数学归纳法证明： （1）验证：时，左边右边，不等式成立 （2）假设时，不等式成立，则时， 所以时，不等式成立 总结：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证与条件之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用。 练1.已知数列满足，其前项和，且 （1）求数列的通项公式 （2）设，并记为数列的前项和，求证： 解：（1） ① ② ①②可得： 所以两边同除以可得： 是公差为的等差数列 ，在中令可得： （舍）或 （2）思路：利用（1）可求出和，从而简化不等式可得：，若直接证