小学的奥数之排列组合的问的题目.docx

实用标准文案 实用标准文案 精彩文档 精彩文档 计 数 问 题 教学目标 使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题； 了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合； 掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一 些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。 根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。 知识点拨： 例题精讲： 一、 排 列 组 合 的 应 用 【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ 七个人排成一排； 七个人排成一排，小新必须站在中间. 七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. 七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. 七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. 七个人战成两排，前排三人，后排四人. 七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】（1） P7 7 ? 5040 （种）。 只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置． P6 6 ? 720 （种）. 先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6 个位置．2× P6 =1440(种)． 6 先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2? P5 5  ? 240  (种)． 先排两边，从除小新、阿呆之外的5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P2 ? P5 ? 2400 （种）. 5 5 七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置 还是各不相同的，所以本题实质就是7 个元素的全排列． P7 7 ? 5040 （种）. 可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所 以只要求出其中一种的排法数，再乘以 2 即可．4×3× P5 ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情 5 况再去全排列。 【例 2】 用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？ 【解析】个位数字已知，问题变成从从5 个元素中取2 个元素的排列问题，已知n ? 5 ，m ? 2 ，根据排列数公式， 一共可以组成 P2 5 ? 5 ? 4 ? 20 (个)符合题意的三位数。 【巩固】 用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比20000 大且百位数字不是3 的无重复数字的五位数？ 【解析】可以分两类来看： ⑴ 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有 P4 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 24 (种)放法，对应 24 个不同的五位数； 4 ⑵ 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3 之外的 3 个数字可以 选择，有3 种选择，其余的3 个数字可以任意放到其余 3 个数位上，有P3 3 ? 6 种选择．由乘法原理，可 以组成3 ? 3 ? 6 ? 54 (个)不同的五位数。 由加法原理，可以组成24 ? 54 ? 78 (个)不同的五位数。 【巩固】 用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？ 【解析】从高位到低位逐层分类： ⑴ 千位上排1， 2 ， 3 或4 时，千位有4 种选择，而百、十、个位可以从0 ~ 9 中除千位已确定的数字之 外的9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9 个元素中取3 个的排列问题，所以百、十、个位可 有 P3 9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 504 (种)排列方式．由乘法原理，有4 ? 504 ? 2016 (个)． ⑵ 千位上排5 ，百位上排0 ~ 4 时，千位有1种选择，百位有5 种选择，十、个位可以从剩下的八个数 字中选择． 也就是从 8 个元素中取 2 个的排列问题， 即 P2 8 ? 8 ? 7 ? 5 6， 由乘法原理， 有 1? 5 ? 5 6 ? 2 8(0个)． ⑶ 千位上排5 ，百位上排6 ，十位上排0 ，1， 2 ， 3 ， 4 ， 7 时，个位也从剩下的七个数字中选择，有 1?1? 6 ? 7 ? 42 (个)． ⑷ 千位上排5 ，百位上排6 ，十位上排8 时，比5687 小的数的个位可以选择0 ，1， 2 ， 3 ， 4 共5 个． 综上所述，比5687 小的四位数有2016 ? 280 ? 42 ? 5 ? 2343 (个)，故比5687 小是第2344 个四位数． 【例 3】 用1、 2 、3 、