小学的奥数平面几何五种面积模型.docx

标准实用 标准实用 文案大全 文案大全 小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨 S1 S 1 S 2 ①等底等高的两个三角形面积相等； A B ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S : S 1 2 ? a : b  S ?S a b C D ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图  △ACD ； △BCD 反之，如果S △ACD ? S △BCD ，则可知直线 AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中，D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上)， 则S : S ? ( AB ? AC ) : ( AD ? AE) △ ABC △ ADE DA D A E ASS A S S 1 S 2 O 4 S 3 D E B C B C 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ① S : S 1 2 ? S : S 4 3 或者S ? S 1 3 ? S ? S 2 4 ② AO : OC ? ?S 1 ? S ?: ?S 2 4 S ? B C 3 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； Aa A a S 1 D S 2 O S 3 S 4 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ① S : S 1 3 ? a2 : b2 ② S : S : S : S 1 3 2 4 ? a2 : b2 : ab : ab ； B b C ③ S 的对应份数为?a ? b?2． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 A E F D D D F E AB G C B G C A ① AD ? AE ? DE ? AF ； AB AC BC AG ② S ：S ? AF 2 : AG2 ． △ADE △ABC 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变， 不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） FEO在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点O F E O S ?ABO : S ?ACO ? BD : DC ． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为?ABO 和?ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 B D C 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题 【例 1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6， AE ? 1.5， CF ? 2．长方形 EFGH 的面 积为 ． _H_D_H_ _H _D _H _D E_ _E G_ _G B_ _F _C B_ _F _C 【解析】连接DE，DF，则长方形 EFGH的面积是三角形DEF 面积的二倍． 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， S △ DEF ? 6 ? 6 ? 1.5 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 4.5 ? 4 ? 2 ? 16.5 ,所以长方形 EFGH 面积为 33． 【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8 厘米，长方形EBGF 的长BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ _E_A_E_ _E _A _E _A F_ _F _D _G _C D_ _G _C 【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等