小学奥数之几何五大模型.docx

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 五大模型 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图S : S 1 2 ? a : b ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 S  △ACD = S ； △BCD 反之，如果 S  △ ACD ? S △ BCD ，则可知直线 AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在△ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点(如图 1)或 D 在BA 的延长线 上， E 在 AC 上(如图 2)，则S  △ ABC : S △ ADE ? ( AB ? AC ) : ( AD ? AE) 图 1 图 2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① S : S 1 2 ? S : S 4 3 或者S ? S 1 3 ? S ? S 2 4 ② AO : OC ? ?S 1 ? S ?: ?S 2 4 S ? 3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构 造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ① S : S 1 3 ? a2 : b2 ② S : S : S : S 1 3 2 4 ? a2 : b2 : ab : ab ； ③梯形S 的对应份数为?a ? b ?2。四、相似模型 相似三角形性质： 金字塔模型 沙漏模型 ① AD ? AE ? DE ? AF ； AB AC BC AG ② S △ADE : S △ABC ? AF 2 : AG2 。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改 变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理 如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模型 S △ABG S △BGA S △AGC S :△AGC : :S : △BGC :S : △BCG S ?△BGE ? ?S ? △AGF ?S ? △ADG S :△EGC : :S : △FGC :S : △DGB ? BE: EC ? AF: FC ? AD: DB 典型例题精讲 例 1 一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的倍，黄色三角形的面积是 21 平方厘米。问：长方形的面积是 平方厘米。 例 图 例 2 如图，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE 。则两块地ACF 和 CFB 的面积比 是 。 例 图 【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个 一反三图 三角形的面积分别是 3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？ 举 【拓展】如图，已知长方形 ADEF 的面积 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，那么三角形 ABC 的面积是多少？ 拓 展图 例 3 如图，将三角形 ABC 的 AB 边延长 1 倍到 D，BC 边延长 2 倍到 E，CA 边延长 3 倍到 F。如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是 。 例 图 例 4 如图，在△ABC 中，已知M、N 分别在边 AC、BC 上，BM 与 AN 相交于 O， 若△AOM、△ABO 和△BON 的面积分别是 3、2、1，则△MNC 的面积是 。 例 图 例 5 如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG， HD＝DA，求四边形 ABCD 的面积。 例 图 例 6 如右图长方形 ABCD 中，EF＝16，F＝9，求 AG 的长。 例 图 【铺垫】图中四边形 ABCD 是边长为 12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C、D 连成一个三角形，已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm，那么 三角形 GDC 的面积是多少？ 铺 垫图 例 7 如图，长方形 ABCD 中，E 为 AD 中点，AF 与 BE、BD 分别交于 G、H， 已知 AH＝5cm，HF＝3cm，求 AG。 例 图 例 8 如右图，三角形 ABC 中，BD∶DC