正方形的性质与判定正方形的判定.docxVIP

第2课时　正方形的判定 1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点) 2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断． 阅读教材P22～24，完成下列问题： (一)知识探究 1．对角线相等的________是正方形． 2．对角线垂直的________是正方形． 3．有一个是直角的________是正方形． (二)自学反馈 1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　) A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 2．下列命题正确的是(　　) A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形 C．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(　　) A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.则四边形ABEF是________形． 活动1　小组讨论 例 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝45°，∠ECB＝eq \f(1,2)∠DCB＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC. ∴平行四边形BECF是菱形． 在△EBC中， ∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°. ∴菱形BECF是正方形． 　掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键． 活动2　跟踪训练 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形． 2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论． 3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形． 活动3　课堂小结 1．对角线相等的菱形是正方形； 2．对角线垂直的矩形是正方形； 3．有一个角是直角的菱形是正方形． 【预习导学】 (一)知识探究 1．菱形　2.矩形　3.菱形 (二)自学反馈 1．D　　　4.正方 【合作探究】 活动2　跟踪训练 1．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形． 2．四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴HA＝EB＝FC＝GD.∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG.∴HE＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH是菱形．又∠AHE＝∠BEF，∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形． 3．证明：连接BD.∵点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，∴EF是△BCD的中位线，GH是△ABD的中位线．∴EF∥BD，EF＝eq \f(1,2)BD，GH∥BD，GH＝eq \f(1,2)BD.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．