平面向量与三角形的四心归纳总结.doc

三角形的四心与向量 四心的概念介绍： (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 （一）三角形的内心 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足： ，则的轨迹一定通过的(　 　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量 的方向与的角平分线一致，又， ，向量的方向与的角平分线一致 一定通过的内心，选． 练习1. 已知满足，，则为( ) A．顶角为的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角为的直角三角形 D．等边三角形 【解析】设，则，而，所以是的角平分线，又，所以为等腰三角形， ，所以是等边三角形. 练习2.O是平面内的一定点，A,B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足 则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解析】∵、分别表示向量、方向上的单位向量 ∴的方向与∠BAC的角平分线重合， 又∵可得到 λ（） ∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心，选A （二）三角形的重心 已知中，向量，则点的轨迹通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【解析】设为中点，则，，即点在中线上 可知点轨迹必过的重心，选 练习1．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（ ） A．或 B． 或 C．或 D．或 【解析】设,因为G为的重心，所以,即 由于三点共线，所以，即 因为，，所以 即有，解之得或，选B 练习2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若= , 则O点是△ABC的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】作BD∥OC，CD∥OB，连OD，OD与BC相交于G，则BG＝CG，（平行四边形对角线互相平分）， ∴，又∵，可得：，∴， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线， 同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线．∴O为三角形ABC的重心．选C． 练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解析】∵＝设它们等于t，∴ 而 表示与共线的向量,而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心，选C 练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心． 【解析】设D为BC的中点，则，于是有， ，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线， 于是点P的轨迹一定通过的重心 是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）． 【解析】∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R）， 且，∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点， ∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为重心． （三）三角形的外心 已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于( ) A． B． C． D． 【解析】 因为，所以点为的重心， 延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心， 所以，则，同理可得，为等边三角形，，故选B. 练习1.已知，点，为所在平面内的点，且，，， 则点为的 ( ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解析】因为，所以，即 又因为 ，所以，即 所以，即 所以 ,所以，同理 ，所以为的外心，选B 练习2.在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【解析】 设为中点，则 为的垂直平分线 轨迹必过的外心，选 练习3.是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为_______ 【解析】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以， 即.由于是锐角三角形的最大角，故，故. 练习4.已知O是△ABC外接圆的圆心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，则cos∠BAC=______． 【解析】如图所示， 过O点分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则AD=DB，AE=EC． 则， 则 因为=+， 所以， 即18=36x+90ycosA，=90xcosA+225y，又2x+3y=1，联立解得cosA= （四）三角形的垂心 点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通 过的