数学必修五数列知识点解题技巧.docx

有德教育数列部分知识点梳理 有德教育 一数列的概念  ??S (n ? 1) ? 数列的前n 项和与通项的公式① S ? a ? a ? ? ? a ； a ? ? 1 n 1 2 n n S n S n?1 (n ? 2) 数列的分类：①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n?1 ? a .②递减数列:对于任何 n ? N n ? ,均有 a n?1 ? a .③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1,?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在 n 正数M 使 a n ? M , n ? N ? .⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项a n 使得 a n ? M . 一、等差数列1）通项公式 a n  ? a ? (n ? 1)d ， a 1 1  为首项， d 为公差。 前 n 项和公式 S n  n(a ? a ) ?1 n 或 ? 2 S ? na ? n 1 1 n(n ? 1)d . 2 等差中项： 2A ? a ? b 。 等差数列的判定方法：⑴定义法： a ? a ? n??1 n  ? d （ n ? N ? ， d 是常数） ? ?a n ?是等差数列；⑵ 中项法： 2a ? a n?1 n a n?2 ( n ? N ) ? ? a 是等差数列. n 等差数列的性质： ⑴数列?a ?是等差数列，则数列?a ? p?、?pa ?（ p 是常数）都是等差数列； n ? ? n n ⑵在等差数列 a n 数列，公差为kd . 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n , a n?k , a n?2k , a n?3k ,? 为等差 ⑶ a ? a n m (n ? m)d ； a n ? an ? b ( a , b 是常数)； S n ? an 2 ? bn ( a , b 是常数， a ? 0 ) ?⑷若m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ) ，则a ? a ? a ? a ； ? m n p q ? ?⑸若等差数列?a ?的前n 项和 S ，则 S ? ? ? ? n ⑹当项数为2n(n ? N n ? n ? S a) ，则S ? S ? nd , 偶 ? n?1 S a 偶 奇 S a 奇 n 当项数为2n ? 1(n ? N )，则S ? S 奇 偶 ? a , S 偶 n S 奇 ? n ? 1 . n 设 设 ； 是等差数列，则 ， （ 是常数）是公差为 ， 的等差数列；  ，则有 是等差数列的前 项和，则 ； 其他衍生等差数列：若已知等差数列 ，公差为 ，前 项和为 ，则 ①． 为等差数列，公差为 ； ②． （即 第 1 页 共 4 页 ）为等差数 列，公差 ； 有德教育 ③． （即 ）为等差数列，公差为 . 二、等比数列1）通项公式：a n  ? a qn?1 ，a 1  为首项，q 为公比 。前n 项和公式：①当q ? 1 时，S 1 n  ? na 1  ②当q ? 1 a (1 ? qn ) a ? a q 时， S ? 1 n ? 1 n . 1 ? q 1 ? q 等比中项： G 2 ? a ? b 。 ； 等比数列的判定方法：⑴定义法： an?1 ? q（ n ? N a ?  ， q ? 0 是常数） ? ?a n  ?是等比数列；⑵中 项法： a  2 n?1 ? a ? a n  n?2 ( n ? N ? )且a n n ? 0 ? ?a ?是等比数列. n 等比数列的性质： ⑴数列?a ?是等比数列，则数列?pa n n ?、?pa n ?（ q ? 0 是常数）都是等比数列； （2） an ? a ? qn?m (n, m ? N ) m ? 若m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ?) ，则a ? a ? a ? a ； ? ? m n p q 若等比数列 a n 的前n 项和 S n ，则 S 、S k 2k S 、S k 3k S 、S 2k 4k S 是等比数列. 3k 设 ， 是等比数列，则 也是等比数列。 设 是等比数列， 是等差数列，且 则 也是等比数列（即等比数列中等距 离分离出的子数列仍为等比数列）； 设 是正项等比数列，则 是等差数列； （8）设 ， ， ，则有 ； （9）其他衍生等比数列：若已知等比数列 ，公比为 ，前 项和为 ，则 ①． 为等比数列，公比为 ； ②． （即 ）为等比数列，公比 为 ； 三、解题技巧： A、数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，