数学建模案例之多变量最优化.docx

问题 1[1：] 数学建模案例之多变量无约束最优化 某家液晶电视机制造商计划推出两种产品：一种47 英寸液晶电视机， 制造商建议零售价每台 7900 元。另一种 42 英寸液晶电视机，零售价 6500 元。公司付出的成本为 47 英寸液晶电视机每台 4500 元，42 英寸液晶电视机每台 3800 元，再加上 3200000 元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的液晶电视机数量会影响液晶电视机的平均售。据估计，对每种类型的电视，每多售出一台，平均销售价格会下降 0.08 元。而且 47 英寸液晶电视机的销售量会 影响 42 英寸液晶电视机的销售，反之也是如此。据估计，每售出一台 47 英寸液晶电视机，42 英寸的液晶电视机平均售价会下降 0.024 元，而每售出一台42 英寸的液晶电视机，47 英寸液晶电视机的平均售价会下降 0.032 元。 问： 问每种电视应该各生产多少台，使总利润最大？ 对你在（1）中求出的结果讨论 42 英寸液晶电视机的价格弹性系数的灵敏性。 问题分析、假设与符号说明这里涉及较多的变量： s：47 英寸液晶电视机的售出数量（台）； t：42 英寸液晶电视机的售出数量（台）； p：47 英寸液晶电视机的售出价格（元/台）； q：42 英寸液晶电视机的售出价格（元/台）； C：生产液晶电视机的成本（元）； R：液晶电视机销售的收入（元）； P：液晶电视机销售的利润（元） 这里涉及的常量有： 两种液晶电视机的初始定价分别为：339 元和 399 元，成本分别为： 195 元和 225 元；每种液晶电视机每多销售一台，平均售价下降系数 a=0.01 元（称为价格弹性系数）；两种液晶电视机之间的销售相互影响系数分别为 0.04 元和 0.03 元；固定成本 400000 元。变量之间的相互关系确定： 假设 1：对每种类型的液晶电视机，每多售出一台，平均销售价格会下降 1 元。 假设 2：据估计，每售出一台42 英寸液晶电视机，47 英寸的液晶电视机平均售价会下降 0.3 元，而每售出一台 47 英寸的液晶电视机，42 英寸液晶电视机的平均售价会下降 0.4 元。 因此，47 英寸液晶电视机的销售价格为： p=339 - a×s - 0.03×t，此处 a=0.01 42 英寸液晶电视机的销售价格为：q=399 - 0.01×t - 0.04×s 因此，总的销售收入为：R=p×s + q×t 生产成本为：C=400000 + 195×s + 225×t 净利润为：P = R - C 因此，原问题转化为求 s≥0 和 t≥0，使得 P 取得最大值。2．建立数学模型 根据前面的分析，原问题的数学模型如下： max P(s, t ) s.t. 模型求解 求解方法 P(s, t ) ? (339 ? as ? 0.003t )s ? （1） (399 ? 0.004s ? 0.01t )t ? (400000 ? 195s ? 225t ) s ? 0 , t ? 0 求出驻点（s ，t ），即解方程组 0 0 ? ?P(s, t ) ? 0 ? ?s ? ?P(s, t ) ? ? 0 ?? ?t 判断是否在驻点处取得极值，方法如下： 1）先计算 ? 2 P(s ? 2 P(s, t ) ?s2 1 (s ,t ) 0 0 ? 2 P(s, ? 2 P(s, t ) ?s2 ? 2 P(s, t ) ?t?s D ? 0 0 2 (s ,t ) 0 0 (s ,t ) ? 2 P ? 2 P(s, t ) ?s?t ? 2 P(s, t ) ?t 2 (s ,t ) 0 0 2）若 D ? 0 , D ? 0 ，则（s ，t ）是极小值点； 1 若 D ? 0 , D 1 2 2 0 0? 0 ，则（s0，t 0 0 ）是极大值点； 00若 D ? 0 ，则（s ，t 0 0 2 ）不是极值点； 若 D2 ? 0 ，则不能肯定（s0，t0）是不是极值点，必须考察更高阶的偏导数。 计算结果 （1）利用 Matlab 计算出驻点为：（4735.04，7042.7）,其中 a=0.01； （2）利用 Matlab 计算出 D =-0.020，D =0.0003510，因此 P(s,t) 1 2 在（4735，7043）处取得极大值：553641 元。 （ 3 ） 辅助数据： p=270.52 ； q=309.63 ； C=2907950 ； 利润率 =0.190389。 结果解释 简单地讲，这家公司可以通过生产 4735 台 47 英寸液晶电视机和 7043 台 42 英寸液晶电视机来获得最大利润，每年获得的净利润是 553641 元。 47 英寸液晶电视机的平均售价为 270.52 元/台；42