近世代数第16讲.doc

第16讲 第三章环与域§加群、环的定义 (additivegroupanddefinitionofring) 本讲的教课目标和要求:本讲开始在群理论的基础上议论拥有两 个二元运算的代数系统—环的基天性质.环也是近世代数中一类重要 的、基本的代数系统.因为它拥有二个二元运算,因此不可以防止地会迁 到在群论不可以接触的观点.在群的议论中,不论在思虑问题,提出问题 的基本想法,仍是在剖析问题、解决问题的主要手法方面，对于近世 代数对于近世代数来说，都拥有广泛的典型的意义。能够说基本上体 现了近世代数研究问题的风格与模式。这些对于环的议论会有重要的 启迪和借鉴作用。本讲中，主要介绍环的观点—环的主要特征及它与 群的联系和差别。在教课还引出了一批环的类型。以及议论了环在二 个运算方面拥有的基天性质。因为是刚才引入一种新的代数系统，所 以遇到内容的限制，这一讲中不会遇到什么难点。但要点是：清楚环 这类代数系统中二种运算中的谐调关系。 一．环的定义及例子 定义设{R;,}是拥有两个代数运算的代数系统，假如它知足 (1){R;}是一个加法互换群 {R;}一个半群. R的乘法”·”对加法”+”知足左右分派律, 即a(bc)abac且(bc)abaca.a,b,cR 那么称{R;,}是一个环,在不产生混杂的前提下,能够 记这个环为R. 注意1.上定义中说到{R;}是加法互换群.意味着{R;}知足 群的四条,此中单位元为0—零元.aR，a的逆元为一 a—a的负元.而{R;}是乘法半群,意味着R对”·”满 足关闭和联合律. 例1.{R;,}中设Z为整数集,”+”和”·”为Z中往常的整数加法和乘法. 易知{R;,}是一个环.——习惯上称它为整数环，记为Z. 同理还有有理数环，实数环，复数环。 上述的四个环都是由数构成。故称为数环. 例2.偶数集2Z{,6,4,2,0,2,4,6,} 对于整数往常的加法和乘法也是一个环. 例3.设Z[i]{abi|a,bZ}, 按数的往常的加法也构成一个环,叫做高斯数环. 例4.任取定一个数域F.由F上全部一付元多项式构成的集 合F[x]{anxnan1xn1a1xa0|aiF,nN1}对于多项式 往常的加法与乘法.也可构成一个环.这个环{F[x];;}称为 对于x的多项式,或一元多项式环. 明示1.在例4中.若将数域F换成任一个数环,那么也能构成 多项式环,比如,取整数Z,则 Z[x]{bnxnbn1xn1b1xb0|biZ,nN1} 叫做,整系数多项式环. 例5.拿出数域F上的所有n阶方阵构成的会合, Mn(F){A(aij)|aijF,1i,jn} 对于矩阵的加法和乘法构成一个环,这个环{Mn(F);;}叫做n阶全矩阵环,或称为n阶矩阵环. 明示2.在例5中,若用数环代替数域F后,结果仍建立,比如. 用偶数环代替F,获得 Mn(2Z){A(aij)|aij2Z,1i,jn} 也是一个环. 二．两个重要的环 对于环,我们能够举出许很多多的例子.下边特别介绍两个用途 很广的环. (1)模m的节余类环{Zm;,} 在第二章里,我们曾议论模m的节余类加群 {Zm,}Zm{[0],[1],,[m1]}.(此中加群Zm中的加法采纳“钟表加法”). 为做Zm成为一个环,第一要对Zm再定义乘法”·”: [i][j][ij]:[2][3][6]. 明显,这里也采纳了“钟表计数法”于是能够考证{Zm;,}是一个环. 为了方便起见,特取m6,现观察{Z6;,}是一个环. 事实上:(1){Z6,}正是模6节余类加群 (第二章) {Z6,}是半群. 从右侧的乘法运算表可知 {Z6,}对乘法关闭, 而知足联合律需要验算 63次.(略). (3) [a].[b].[c] Z6.可知 [a]([b][c]) [a][b c] [a(b c)] [ab ac] [ab] [ac] [a][b] [a][c] ∴[a]([b] [c]) [a][b] [a][c]. 同理有 ([b] [c])[a] [b][a] [c][a] 由上(1),(2),(3) {Z6;,}是一个环. (2)加群G的自同态环{End(G); ,} 设{G;}是一个加法群 .若 :G G是G的一个自同态映照是 指:a,b G.(a b) (a) (b). 令End(G) { | :G G.为自同态映照}. 我们将把End(G)结构成一个环: 规定End(G)中一个加法”+”: , End(G).那么 ( )(g) (g) (g). g G,于是有 a,bG.( )(a b) (a b) (a b) [ (a) (b)] [(a) (b)] [(a) (a)][ (a) (b)] ( )(a) ( )(b) ∴ ( )(a b) ( )(a) ( )(b) End(G)