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微专题 3 圆锥曲线中的探索性与开放性问题
2 2ᵃᵃ ᵃ＞0
ᵃ ᵃ 0 ᵃ = ( ) 交于
1. （2021 江苏宿迁高二期末）已知过点 ( , ) 的直线与抛物线
ᵃ ᵃ ᵃ ᵃᵃ ᵃᵃ 16 ᵃ
, 两点，若有且仅有一个实数 ，使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 成立，则 的值为( )
A.-4B.2C.4D.8
答案：ᵃ
ᵃ ᵃ ᵃ ᵃ
ᵃᵃ ᵃ ᵃᵃ ᵃ ᵃ ᵃ , ), ( , ) ，
解析：设直线 的方程为 = + ， ( 1 1 2 2
ᵃ = ᵃᵃ+ ᵃ,
2 2ᵃᵃᵃ 2ᵃᵃ 0
− − = ，
联立得{ 整理得ᵃ
2 2ᵃᵃ
ᵃ = ,
+ ᵃ = 2ᵃᵃ ，ᵃ = −2ᵃᵃ ，
所以ᵃ ᵃ
1 2 1 2
2 2 2
ᵃᵃ ᵃ ᵃᵃ ᵃ ᵃ ᵃᵃ ᵃ ᵃ ᵃ ᵃ
所以ᵃ ᵃ = ( + )( + ) = ᵃ ᵃ + ( + ) + = ⋅
1 2 1 2 1 2 1 2
2ᵃᵃ ᵃᵃ 2ᵃᵃ ᵃ2
(− ) + ⋅ + ，
ᵃ ᵃ2 2ᵃᵃ ᵃᵃ 2ᵃᵃ ᵃ2
ᵃᵃ ᵃᵃ 16 ᵃ ᵃ + ᵃ = (− ) + ⋅ + −
因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − ，所以
1 2 1 2
2ᵃᵃ= −16 ，
2 2ᵃᵃ 16 0 ᵃ ᵃᵃ ᵃᵃ 16
所以ᵃ − + = ，因为有且仅有一个实数 ，使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 成立，所
以ᵃ = (−2ᵃ)2 − 64 = 0 ，解得ᵃ = 4 或ᵃ = −4 （舍去）.
ᵃ 3 2 ᵃ √3ᵃ
2.已知双
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