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高中数学学习材料
唐玲出品
【走向高考】2016 届 高三数学一轮基础巩固 第9 章 第8 节 用向量
方法求角与距离(理) 新人教B 版
一、选择题
1．已知正方体ABCD －A1B1C1D1 ，则直线BC1 与平面A1BD 所成的角的余弦值是( )
2 2
A. B．
4 3
3 3
C. D．
3 2
[答案] C
[解析] 如图，以D 为坐标原点，直线DA、DC、DD1 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1) ，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
→ → →
∴DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，BC1＝(－1,0,1)，
设平面A1BD 的一个法向量为n＝(x，y ，z)，
→
n·DA1＝0， x ＋z ＝0， z ＝－x ，
则 ∴ ∴
→ x ＋y ＝0. y ＝－x.
n·DB＝0.
令x ＝1 得，n＝(1，－1，－1)，
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设直线BC1 与平面A1BD 所成角为θ，则
→
|BC1·n| 2 6
→
sinθ＝|cos 〈BC1，n〉|＝ ＝ ＝ ，
→ 2· 3 3
|BC1|·|n|
3
∴cosθ＝ 1－sin2θ＝ .
3
2 ．(2014·河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC －A1B1C1 中，已知AB ＝2，CC1 ＝ 2，则异面直线
AB1 和BC1 所成角的正弦值为( )
7
A ．1 B．
7
1 3
C. D．
2 2
[答案] A
→ → →
[解析] 设线段A1B1 ，AB 的中点分别为O，D，则OC1 ⊥平面ABB1A1 ，以OB1，OC1，OD的
方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则A( －1,0， 2)，B1(1,0,0)，B(1,0， 2)，C1(0， 3，0) ，
→ → → →
∴AB1 ＝(2
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