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第九章 第九章 曲线积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线弧 曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分 第四节 第九章 对面积的曲面积分 （第一类曲面积分） 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 求质 量M . 类似求平面薄板质量的思想, 采用 z ( , , ) k k k “分割, 近似, 求和, 取极限” 的方法, 可得 n  M =  k =1 O y 其中,  表示 n 小块曲面的直径的 x 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限” 记作 f x y( z, , S)d   都存在, 则称此极限为函数f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f (x, y, z) 叫做被积 函数,  叫做积分曲面. 据此定义, 曲面形构件的质量为M = ( x, y, z) d S 曲面面积为 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续, 则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 则有  ,  , 1 2  f ( x, y, z) d S = f ( x, y, z) d S