概率论与数理统计考试试卷与答案.doc

一.填空题（每空题2分，合计60分） 1、A、B是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B)0.5,p(AB)0.3，则p(AB) 0.6, p(A-B)0.1，P(AB)=0.4 , p(AB) 0.6。 2、一个袋子中有大小同样的红球 6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取 2只， 则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3。（2）如有放回地任取 2只， 则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25。（3）若第一次取一只球观查 球颜色后，追加一只与其颜色同样的球一并放入袋中后，再取第二只，则 第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X听从B（2，0.5）的二项散布，则p X1 0.75,Y听从二项 散布B(98,0.5),X与Y互相独立, 则X+Y听从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50， 方差D(X+Y)=25。 4、甲、乙两个工厂生产同一种部件，设甲厂、乙厂的次品率分别为 0.1、0.15．现 从由甲厂、乙厂的产品分别占 60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量(X,Y)的散布律如右，则a 0.1, X 0 1 Y E(X)0.4，X与Y的协方差为:-0.2 ， -1 0.2 0.3 ZXY2的散布律为: z 1 2 1 0.4 a 概率 0.6 0.4 6、若随机变量X~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2)0.9772 ,则P{2X4}0.8185 ， Y2X1,则Y~N(5，16 ）。 7、随机变量X、Y的数学希望 E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y互相独立，则：E(2X Y) -4 ，D(2X Y) 6。 8、设D（X）25，D（Y）1，Cov(X,Y) 2，则D（X Y） 30 9、设X1,,X26是整体N(8,16)的容量为 26的样本，X为样本均值，S2为样本方 差。则：X~N（8，8/13 ），25S2~ 2(25) ，X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假定查验时，易犯两类错误，第一类错误是： ”弃真”,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般状况下，要减少一类错误的概率，必定增大 另一类错误的概率。假如只对犯第一类错误的概率加以控制，使之a，而不考 虑犯第二类错误的概率，这类查验称为：明显性查验。 ax2, 0x 1 二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x) , 0 其余 求：（1）常数a，（2）p(0.5X 1.5)（3）X的散布函数 F（x）。 解:(1)由 f(x)dx1,得a3 ’ 2 (2) (3)  p(0.5 X 15)= 1..5 1 2dx0.875 2’ f(x)dx 3x 0.5 0.5 0 x 0 F(x) x3, 0x1 2’ 1 , 1 x 2y, 0 x1,0y1 三、（6分）设随机变量（X，Y）的结合概率密度为：f(x,y) , 其余 0 求：（1）X，Y的边沿密度，（2）议论X与Y的独立性。 解:(1)X，Y的边沿密度分别为: 1 0x 1 fX(x) 2ydy1 0 0 其余 4’ 1 fY(y) f(x，y)dx 2ydx 2y，0y 1 0 0 其余 (2)由(1)可见 f（x，y）fX（x）f（Yy）, 可知:X，Y互相独立 2’ 四、（8分）设整体X~N(0，2),。X1,...,Xn是一个样本，求2的矩预计量，并证 明它为2的无偏预计。 解:X的二阶矩为:E(X2) 2 1‘ X的二阶样本矩为A2 1n Xi 2 1’ nk 1 令：E(X2)A2, 1’ 解得:21 n  n Xi2, k1 2的矩预计量 2 1n Xi2 2’ nk 1 2 1 n 2 ) ,它为 2 的无偏预计量. 3’ E(?) E( Xi nk1 五、（10分）从整体X~N(u, 2)中抽取容量为16的一个样本，样本均值和样本 方差分别是X 75,S2 4，t0.975(15) 2.1315,x02.025(15) 6.26,x02.975(15)27.5 求u的置信度为0.95的置信区间和 2的置信度为0.95的置信区间。 解:(1)n=16,置信水平1 0.95, /2 0.025,t0.975(15) 2.1315, X 75,S2 4由此u的置信水平为0.95的置信区间为: (75 2 2.1315), 即(75 1.0658) 5’ 16 (2)n=16,置信水平1 0.95, /2 0.025,x02.025(15)6.26,x02.975(15)27.5 S2 4由此 2的置信水平为0.95的置信区间为: ( 15