双曲线.板块三.双曲线的几何性质.教师版 普通高中数学复习讲义Word版.docx

【例1】 双曲线 x2 ? 2a2 2 y2 ? 1(a ? 0 ，b ? 0) 的焦点到渐近线的距离为 22b2 2 2 ，则b 等于（ ） A．1 B． 【考点】双曲线的几何性质 【难度】1 星 【题型】选择 2【关键字】无 2 C． 2 D． 2 a2 ? b2【解析】焦点(c ，0) 到bx ? ay ? a2 ? b2 【答案】B； ? b ，故b ? ． 【例2】 双曲线 x2 ? y2 ? 1的焦点到渐近线的距离为（ ） 32 3 4 12  2 C．  D．1 3【考点】双曲线的几何性质 3 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】2009 年，海南高考 3【解析】双曲线的焦点(4 ，0) 到渐近线 y ? 3x 的距离为d ? | 4 3 ? 0 | ? 2 ． 3 2 【答案】A； 【例3】 设 P 是双曲线 x2 a2 y2 9 ? 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x ? 2 y ? 0 ，F 、F 1 2 分别是双曲线的左、右焦点，若| PF 1 |? 3 ，则| PF 2 |? （ ） 板块三.双曲线的几何性质典例分析A．1 或 5 B． 6 C． 板块三.双曲线的几何性质 典例分析 【考点】双曲线的几何性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】 y ? 3 x ? 3 x ? a ? 2 ， PF ? PF ? 2a ? 4 ? PF ? 7 ． 2 a 1 2 2 【答案】C； 【例4】 已知双曲线  x2 ? y2  ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 、 F  ，其一条渐近线方程 2 ? b2 ? 1 2 为 y ? x ，点 P 3 ，y 0 在该双曲线上，则PF 1 PF 2 ? （ ） A． ?12 【考点】双曲线的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2009 年，四川高考 B． ?2 C． 0 D． 4 2【解析】由双曲线的渐近线方程知b ? ，双曲线方程为 x2 ? y2 ? 1．于是 y 2 ? ?1 ，焦点 2 2 坐标为 ??2 ，0? ， 由双曲线的对称性知不妨取 y 0 0 ? 1 ， P( 3 ，1) ， 于是 PF 1 【答案】C； PF 2 ? (2 ? 3 ，? 1) ? (?2 ? 3 ，? 1) ? 0 ． 【例5】 已知点 P 在双曲线 x2 ? y2 ? a2 （ a ? 0 ）的右支上（ P 与 A 2 不重合）， A ，A 分别 1 2 为双曲线的左、右顶点，且?A PA ? 2?PA A ，则?PA A ? （ ） 2 1 1 2 1 2 A． 30? B． 27.5? C． 25? D． 22.5? 【考点】双曲线的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】法一：直接法 设 P(x ，y) ，不妨取 y ? 0 ，则有 x2 ? y2 ? a2 ， 记?PA A ? ? ，则?A PA ? 2? ， (x (x ? a)2 ? y2 PA ? (x (x ? a)2 ? y2 PA ? 2 2 1 2x(x 2x(x ? a) 2x(x ? a)? 2x(x ? a)  x ? a ， 2x( 2x(x ? a) A A 1 2 PA2在?PA A 中，由正弦定理知： PA 2 ? cos? ? ， 2x(x ? a)1 2 sin 2x(x ? a) 2x(x ? a)2x( 2x(x ? a) 2x(x ? a) ，解得： x ? 2a ，于是 y ? a ， 2 2a ? ( 2 ? 1)a2cos 2? ? 2cos 2 ? ? 2 2a ? ( 2 ? 1)a 2 法二：利用点评中性质一与二 ? 1 ? ，从而? ? π． 22 8 2 由性质一知，如图， AB ? x 轴，则 B ，P ，A 2 三点共线， y y P A A1 O A2 x B 记?PA A ? ? ， 1 2 则 ?A PA ? 2? ， ?BA A ? ?AA A ? 3? ， 2 1 2 1 2 1 于是?AA A ? ?AA A ? 4? ? π ? ? ? π ． 1 2 2 1 2 8 法三：利用点评中性质三 记?PA A ? ? ， k ? tan? ， k ? tan 3? ，由性质三知： tan? ? tan ?? ? b2 ? 1 ， 1 2 又? ?? 0 PA 1 π ? ， 3? ?? 0 PA 2 π ? ， tan3? ? cot? ? tan ? π ?? ? ，故3? ? a2 π ?? ? ? ? π ． ? ， ? ? ， ? ? ? ? 2