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微分方程初步 第一页，共二十九页，2022年，8月28日 微分方程的基本概念 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第二页，共二十九页，2022年，8月28日 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 第三页，共二十九页，2022年，8月28日 引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 第四页，共二十九页，2022年，8月28日 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 第五页，共二十九页，2022年，8月28日 引例2 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 引例1 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 第六页，共二十九页，2022年，8月28日 分离变量方程的解法: 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 第七页，共二十九页，2022年，8月28日 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 第八页，共二十九页，2022年，8月28日 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 第九页，共二十九页，2022年，8月28日 令 代入原方程得 解法: 第十页，共二十九页，2022年，8月28日 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 第十一页，共二十九页，2022年，8月28日 一.差分: 设函数 记为 ,当 取遍非负整数 ,即: 则差 称为函数 的差分, 记为 又有: 称为函数 的 二阶差分. 时,函数值可以排成一个数列: 第十二页，共二十九页，2022年，8月28日 差分方程的一般概念: 差分方程不同形式之间可以互相转化 的符号的方程称为差分方程.例如: 都是差分方程. 定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值 第十三页，共二十九页，2022年，8月28日 是一个二阶差分方程,可以化为 将原方程左边写成: 则可以化为 第十四页，共二十九页，2022年，8月28日 定义: 如果一个函数 代入差分方程后,方程两边 把函数 代入 设有差分方程 则有: 左边 等于 右边. 恒等,则称此函数为差分方程的解. 可以验证 是常数,也是差分方程的解 初始条件,通解和特解 第十五页，共二十九页，2022年，8月28日 定义: 形如 是常数, 其中 为已知函数, 为未知函数 时称为非齐次方程,否则称为齐次的. 的方程称为一阶常系数线性差分方程. 第十六页，共二十九页，2022年，8月28日 常系数线性差分方程的解法: 是方程 的解 容易验证: 设 和 都是方程 的解,则 即: 也是方程 的解 1. 通解和特解: 非齐次方程的通解: 第十七页，共二十九页，2022年，8月28日 常系数齐次线性差分方程的