态和力学量表象.ppt

本征态的正交归 一化条件可写为： 由此可以看出 |ψ 和 ψ|的关系： 1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。 （4）本征函数的封闭性 展开式 两边左乘 Qm | 得: 将 a n 代回原式得： 因为 |ψ 是任意态矢量，所以 成立。 本征矢 |Qn 的封闭性 I 分 立 谱 第三十页，共五十八页，2022年，8月28日 对于连续谱 |q ，q 取连续值，任一状态 |ψ 展开式为： II 连 续 谱 同理，对于 |x’ 和 |p 分 别 有 这就是连续本征值的本征矢的封闭性。 由于 所以 它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。 例如：在 |ψ 左侧插入算符 同理 即得态矢按各种力学量本征矢的展开式 第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日 投影算符 |QnQn|或|qq| 的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ 上，相当于把 |ψ 投影到左基矢 |Qn 或 |q 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn 上的分量 Qn|ψ 或 q|ψ。故称 |QnQn| 和 |qq| 为投影算符。 第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日 (1) 右矢空间 在抽象的Dirac表象 Dirac 符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至 Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符。 左乘 Qm | 把公式 变到 Q 表象 算符 F 在Q 表象 中的矩阵表示的 矩阵元 Fm n 写成矩阵形式 ψ = F φ Q 表象 X表象 （三）算符 第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日 平均值公式 插入 单位算符 （2）共轭式（左矢空间） 表明量子力学中的力学量 既可以向右作用到右矢量上， 也可以向左作用到左矢量上。 若 F是 厄密算符 第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日 （1）X 表象描述与 Dirac 符号 Dirac 符号 项目 X 表象 （四）总结 第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日 （2）左右矢空间的对应关系 左矢空间 右矢空间 （3） 厄密共轭规则 由常量 C、左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则 1）把全部次序整个颠倒 2）作如下代换： 常量 C C* | 左矢 右矢 | | | 例如 第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日 （一）引言 （二）H - F 定理 （三）实例 §5 Hellmann - Feynman 定理及应用 返回 第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日 关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。 （1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于 各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进 行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。 （一）引言 第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日 设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，En 是 H的本征值，ψn 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则 证 据题设，ψn 满足本征值方程： 其共轭方程为： 对 λ 求导数并左乘 ψn | 得： ψn |ψn = 1 [证毕] 由共轭方程 知，上式等 号左边第二 项为 0， H - F 定理很有实用价值， H 中的 μ, ? 等都可以选为参数 λ。 （二）H - F 定理 第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日 （1）证明一维谐振子 V = p2 / 2μ。 证 一维谐振子 Hamilton 量： 方法 I： 取μ作为参数λ 由HF 定理 简记为 （三）实例 第四十页，共五十八页，2022年，8月28日 方法 II 令λ = ω 由 HF 定理 第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日 第一页，共五十八页，2022年，8月28日 本章目的： 给出各种方式平行描述体系状态，力学量等方案----表象 找出不同表象之间的相互关系和变换规则----幺正变换 建立另外一套解薛定谔方程的方案---Dirac算符 引进产生，湮灭算符重新讨论谐振子 第二页，共五