第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题（解析版）.pdf

第9 讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题 【典例例题】 题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题 x a 1x  e 2x 1 【例 】（ 全国高三专题练习）若关于 的不等式     （其中a 1），有且只有两个整 1 2023· · x 数解，则实数 的取值范围是 （ ） a  3 5   3   3 5   3 5  A． , 2  B．1,  C． , 2  D． , 2   4 3e   2e  4 3e   2e 3e  【答案】D 【解析】 【分析】 x g(x) a(1x) 根据给定不等式，构造函数f (x) e (2x1)和 ，作出函数图象，结合图象分析求解作答. 【详解】 x x g(x) a(1x) a 1x  e 2x 1 由不等式     （a 1），令f (x) e (2x1)， ， 1 1  x x   f (x) 0 x   f (x) 0 f (x) e (2x1)，当 时， ，当 时， ， 2 2 1 1  1 2 1 f (x) (, ) ( ,) f x f   x  即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，  min   ，且当 时，恒 2 2  2 e 2 有f (x) 0， g(x) a(1x) a 1 (1,0) a 函数 ， 表示恒过定点 ，斜率为 的直线， 在同一坐标系内作出函数y f (x) 的图象和直线y a(1x) ，如图， x g(x) f (x) a 1x  e 2x 1 因不等式     （a 1）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0 是不等式 解集 中的两个整数， 3