第10讲 恒成立能成立3种常见题型（解析版）.pdf

题型三：利用导数处理恒成立与有解问题 【典型例题】 题型一：利用导数研究恒成立问题 x xlnx1 a a 【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数 ，不等式 恒成立，则 的 取值范围是 （ ） A．a1 B．a 2 C．a  1 D．a  2 【答案】B f x x  lnx  1 a f x 【详解】令   ，其中x  0 ，则  min ，  1 x1  f x 1 f x  0 f x   ，当0 x  1时，   ，此时函数   单调递减， x x f x  0 f x f x f 1 2 当x 1时，   ，此时函数   单调递增，所以，  min   ，a 2. 故选：B. x e 【例 】【 年全国甲卷】已知函数 ． 2 2022   f x lnxxa x 若≥ 0，求 的取值范围； (1) a 【答案】(1)(−∞,+ 1] 【解析】(1)的定义域为(0, + ∞)， ' 1 1 1 1 1 1 1 e ( = ( − )e − + 1 e 令 = 0,得= 1 2 = (1− ) + (1 − ) = ( + 1) 当∈ (0,1),( < 0,' 单调递减，当∈ (1, + ∞),( > 0,' 单调递增 ≥1) = e + 1 − 若 ≥ 0 则e + 1 −≥ 0 即≤ e + 1，所以取值范围为(−∞,+ 1], , 1 2 1 【例 】已知函数f (x) x  (a 1)lnx  (a R,a  0) ． 3 2 2 （1）讨论函数的单调性； x [1,) f (x) 0 a （2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围． 【答案】（）答案见解析；（）a 0 1 2 . 【解析】 【分析】 f ' x a f ' x f 1 0 （1）求   ，分别讨论 不同范围下   的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合   ， a 分别求出 的范围再求并集即可.