概率论与数理统计—随机事件的独立性.ppt

2023/7/1812023/7/181第六节 随机事件的独立性一、事件相互独立1. 问题的引入设A，B是试验E的两事件，现比较P(A|B)与P(A).一般地, P(A|B) ≠P(A).只有 B的发生对A发生的概率无影响，才会有P(A|B) =P(A),若P(B)0，可定义这时有 2023/7/1822023/7/182对任意两个随机事件A与B,则称事件A与事件B相互独立 (简称为独立).若2. 两事件的独立定义.容易证明，若P(A)0, P(B)0, 则A, B相互独立与A, B互不相容不能同时成立的.注： 独立与互不相容的关系 2023/7/1832023/7/183定理1 若事件A与B相互独立，且P(B)0,则定理2 若事件A与B相互独立，也相互独立.则下列各对事件P(A|B) =P(A). 反之亦然.推论：若 这四对事件中,只要有一对独立，则其余三对也独立.证明 2023/7/1842023/7/184只证事件从而由此得因为证明:AB 2023/7/1852023/7/185 例2:一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A, B, C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问 A，B，C是否两两独立? 并验证P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？解:由于在四面体中红、白、黑分别出现两面, 因此又由题意知伯恩斯坦反例 2023/7/1862023/7/186故有则三事件 A, B, C 两两独立.且 2023/7/1872023/7/1873. 多个事件的独立性定义2.设三个事件A、B、C，如果满足下述等式P(AB)= P(A) P(B)P(BC)= P(B) P(C)P(AC)= P(A) P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)则称事件A、B、C相互独立.注：3个事件相互独立3个事件两两独立（两两独立） 2023/7/1882023/7/188n个事件的独立性设有n个事件若其中任意k个事件有则称这n个事件相互独立.n个事件相互独立需要证多少个等式？注：n个事件相互独立n个事件两两独立定义2. 2023/7/1892023/7/189则其中任意性质：相互独立，1. 设n个事件 2. 若n个事件A1, A2, … , An (n≥2) 相互独立，则将A1, A2, … , An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.个事件也是相互独立. 2023/77/1810 甲获胜至少需比赛3局，且最后一局是甲胜，而前面甲需胜二局。由独立性得甲获胜的概率为例.甲乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p，p≥1/2. 问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.解:采用三局二胜制，甲获胜的情况：甲甲 ，乙甲甲 ， 甲乙甲 （互不相容）由独立性得甲获胜的概率为采用五局三胜制， 2023/77/1811例.某一治疗方法对一个患者有效的概率为0.9.今对3个患者进行了治疗，求对3个患者的治疗中，至少有一人是 有效的概率.设对各个患者的治疗效果是相互独立的。解:设A表示对3个患者的治疗中，至少有一人是有效的Ai表示对第i个患者的治疗是有效的，故所求概率 2023/7/1812 条件概率、概率乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式的关系：条件概率乘法公式全概率公式 贝叶斯公式 2023/7/1813内容小结1. 会计算古典概型的概率;2. 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算. 3. 掌握事件的独立性，并能应用它计算概率. 2023/7/1814作业习题一（P23）：8、 9、12、13、15、18 2023/7/1815备用题1. 鞋子配对问题取走两只, 求下列事件的概率.(1)每人取走的鞋恰为一双的概率;(2)每人取走的鞋不成一双的概率.解 设第一个人从2n只中取任取2只, 第2个人从2n-2只中任取2只, … ,第n个人取走最后2只. 有n双不同的鞋混放在一起, 有n个人每人随机 2023/7/1816(1)每个取走一双鞋的事件数为于是依乘法原理, 基本事件的总数为 2023/7/1817因为第一个人可以从n只右脚鞋中取一只, 又可以从n只左脚中取一只 (只要2只鞋不成双), 其余类推.于是(2)每个人取走的2只鞋都不成双的事件数为(n!)2. 2023/7/18182.生日问题全班共有学生30人，求下列事件的概率：(1) 某指定30天，每位学生生日各占一天；(2)