2.2函数的性质与图像-2023年高考数学总复习历年（十年）真题题型归纳+模拟预测（解析版）.docx

2.2 函数的性质与图像 1、重点考查函数的奇偶性与单调性及利用函数性质解函数不等式、方程解的个数问题，注意函数周期性这一点的复习． 2、函数图象部分仍以考查图像识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题 一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 一 函数图像的自对称：求对称轴或对称中心，让自变量相加除以2 (1)若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或 （实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若恒成立，则的图像关于直线对称. 若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称. 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 二 函数图像的互对称：求对称轴或对称中心，让自变量整体相等 (2)函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； 设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称. 函数与函数的图象关于直线对称.函数与函数的图象关于直线对称. 函数与函数的图象关于点中心对称. (3)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”. 曲线平移遵循自变量“左加右减，上减下加”. ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数与的图像关于对称. （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. (5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a. 题型一.函数的图像 1．（2021?天津）函数f（x）=ln|x| A． B． C． D． 解：根据题意，f（x）=ln|x|x2+2，其定义域为{ 有f（﹣x）=ln|x|x2+2=f 在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D， 故选：B． 2．（2019?新课标Ⅰ）函数f（x）=sinx+xcosx+x2在[﹣ A． B． C． D． 解：∵f（x）=sinx+xcosx+x2，x∈[﹣ ∴f（﹣x）=?sinx?xcos(?x)+x2 ∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A； 又f（π）=sinπ+πcosπ+π2= 故选：D． 3．（2019?新课标Ⅲ）函数y=2 A．B． C．D． 解：由y＝f（x）=2x32x+2 ∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C 又f（4）=21128+1＞7，因此排除 4．（2018?新课标Ⅱ）函数f（x）=e A．B．C． D． 解：函数f（﹣x）=e?x?e 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x＝1时，f（1）＝e?1e＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C 5．（2018?浙江）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B． 当x=π2时，函数的值也为0，故排除C．故选： 6．（2017?新课标Ⅲ）函数y＝1+x+sinx A． B． C． D． 解：函数y＝1+x+sinxx2，可知：