4.1三角恒等变换-2023年高考数学总复习历年（十年）真题题型归纳+模拟预测（解析版）.docx

4.1 三角恒等变换 单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合． 【知识网络】 1.、两角和、差的正、余弦公式 2、二倍角公式 ；； 。 降幂公式： ； . 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2eq \f(α,2)，1－cos α＝2sin2eq \f(α,2). 4.万能公式：； . 5.半角公式：； . 正切和差公式变形： tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)， tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?)＝eq \f(tan α－tan β,tan?α－β?)－1. 配方变形：1＋sin α＝(sineq \f(α,2)＋coseq \f(α,2))2，1－sin α＝(sineq \f(α,2)－coseq \f(α,2))2. 4．辅助角公式 asin α＋bcos α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a). 题型一.同角三角函数的基本关系、诱导公式 1．（2020?新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（　　） A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0 【答案】D． 解：α为第四象限角，则?π2+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4 ∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0， 故选：D． 2．（2018?新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=23，则|a﹣ A．15 B．55 C．2 【答案】B． 解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=23，∴cos2α＝2cos2α﹣1=23，解得cos ∴|cosα|=306，∴|sinα|=1?3036=66，|tanα|＝| 故选：B． 3．（2017?新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα=43，则sin2 A．?79 B．?29 C． 【答案】A． 解：∵sinα﹣cosα=43，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α=169，∴sin2α 4．（2018?新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝　?12 【答案】?1 解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①， cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1． ∴sin（α+β）=?12．故答案为： 5．（2015?四川）已知sinα+2cosα＝0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是　﹣1　． 【答案】﹣1 解：∵sinα+2cosα＝0，即sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝﹣2， 则原式=2sinαcosα?co 6．（2021?新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ A．?65 B．?25 C． 【答案】C． 解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ) =sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ) = 7．（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝　? 【答案】? 解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα＝sinβ=13，cosα＝﹣cos ∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos2α+sin2α＝2sin2α﹣1=29 方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第二象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα ∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=?2 ∵sinα=1 当α在第二象限时，cosα=?223，∵α，β ∴β在第一象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα ∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=?223×223+ 故答案为：? 题型二.两角和与差公式 1、【2023年新高考1卷】 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根