圆的方程习题精选精讲.docx

习题精选精讲 PAGE PAGE 1 圆的方程 标准方程——请看圆心和半径 所谓标准方程，就是能显示图形特征的方程. 从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2 = r2（r0）中，我们能看见它的图形特征：圆心即定点（a，b），半径即定长 r. a，b 确定了圆的位置，r 确定了圆的大小. 确定一个圆需要三个条件，1 个圆心相当 2 个条件，而半径只相当 1 个条件. 【例 1】 求过点 A（5，2）和点 B（3，-2），圆心在直线 2x-y=3 上的圆的方程. 【分析】点 A 和点 B 已知相当 2 个条件，圆心在已知直线上只相当 1 个条件. 三个条件已知，圆的方程可定. 【解析】 设圆心为（a，b）,则有 ?2a ? b ? 3 ? ?(a ? 5)2 ? (b ? 2)2 ? (a ? 3)2 ? (b ? 2)2 即圆心为（2，1）. ?a ? 2 ?解得? ? ?b 1 由距离公式得半径 r 2= (2 ? 5)2 ? (1 ? 2)2 ? 10 因此所求圆的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 10 . 【点评】 具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程. 如果还有某个条件未能确定，则得到的是“圆系”（圆的集合）方程. 当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件”求出圆系方程，再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最后确定. 一般方程——看圆的代数式特征 如果把圆的标准方程称作圆方程的“几何式”，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式”.圆的一般方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ① 这是一个缺“混合二次项 xy”、且 x2 和 y2 两项系数相等且不为零的二元二次方程. 它的图形是否为圆，还有限制条件. ? D ?2 ? E ?2 1 ? ? 将①配方得整理得? x ? ? ? ? y ? ? ? D2 ? E 2 ? 4F ② 1D2 ? E 2 ? 4FDE ?? 1 D2 ? E 2 ? 4F D E ? 当 D2 E 2 ? 4F ? 0 ? ?时，依②知①表示以? ? D?E ? D ? E ? 2 ，? 2 ? 为圆心， 2  为半径的圆； 当 D2 E 2 ? 4F ? 0 ? ??，①表示点圆? ? ? ? 2 ，? 2 ? ； 当 D2 E 2 4F ? 0 ，①不表示任何图形. 【例 2】已知方程 x2+y2-2(m+3)x+22(1-4m2)2y+16m4+9=0 表示一个圆. 求实数 m 的取值范围；(2)求该圆半径 r 的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程. 1 ? 7 m ???3?2?7 ???167【解析】 (1)方程表示圆的充要条件是 D2+E2-4F0，即：4(m ? 7 m ? ? ? 3 ? 2 ? 7 ? ? ? 16 7 4 74 7? ,? 0 ? r ? . 4 7 4 7 r= 7 7 ?x ? m ? 3 1 20 (3)设圆心为(x，y)，则? 消去 m 得：y=4(x-3)2-1，∵- ? y ? 4m2 ?1 7 20 m1，∴ 7 x4， 即轨迹为抛物线的一段：y=4(x-3)2-1( 7 x4). 【点评】二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是判别式 D2+E2-4F0. 直线与圆的位置关系——由心线距确定 判断直线与圆的位置关系有两种方法： ① 几何法：利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小判断 d ? r ? 相交，d ? r ? 相切，d ? r ? 相离 ② 代数法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“Δ”进行判断： ? ? 0 ? 相交， ? ? 0 ? 相切， ? ? 0 ? 相离 【例 3】 若圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2  2,求直线 l 的倾斜角的取值范围. 2 2【解析 1】 圆（x-2）2+（y-2）2=18 的圆心为 A（2，2），半径为 r= 3 . 2 22222当 A 到 l 的距离 d= 时，圆上恰有三个点到 l 的距离为 2 ； 2 2 2 2 2 2当 d 2 22当 d 2 2 时，圆上有四点到直线 l 的距离为 2 ； 时，圆上有两点到 l 的距离为 2 . 如右图，当 d=AC= ∴ ? COx=15°. 时，OA=2 ， ? AOC=30°， 在另一极端位置 l′时，其倾斜角为 75°. ∴所求角的范围为[15°，75°] 【解析 2】 圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 的圆心为（2，2），半径为 3 2 . 2∵圆上至少有三