ERA 法的研究及应用.docx

ERA 法 1 基本思想 特征系统实现算法（ERA）首先由美国国家航空与宇航局（NASA）所属的 Langley 研究中心于 1984 年提出。它是一种多输入多输出的时域整体模态参数识别算法。它移植了自动控制理论中的最小实现理论，利用结构脉冲响应数据（后来推广为可利用自由衰减数据或自由响应数据）作为输入，采用奇异值分解的方法，求得满足此输入的最小特征系统，进而可根据系统矩阵求得其特征值和特征向量以及结构模态参数。所谓特征系统，即为被辨识结构的一个近似逼近系统。在一定阶次内，被辨识结构的脉冲响应和此近似逼近系统的脉冲响应相同。或者说在一定阶次内，此特征系统与被辨识系统具有同样的动力特性。可以证明，满足这样要求的与被辨识结构对应的特征系统并不唯一，而 ERA 算法可以得到阶次最低的特征系统，即被辨识结构的最小实现。最小实现也不唯一，但它们具有相同的系统特征值。 2 算法理论 （1）问题的提出 对于n自由度线性定常系统，P个点激励，L个点测量，其离散状态空间模型如下：X(k+1)=AX(k)+BF(k) (3-7) Y(k)=CX(k) (3-8)式中 k——采样点序号； X(k)——kΔ时刻的系统状态向量（2n×1）； Δ——采样间隔时间； Y(k)——kΔ时刻系统实测的响应向量（L×1）；F(k)——kΔ时刻系统的输入向量（P×1）； A——系统矩阵（ 2 n × 2n）； B——输入矩阵（ 2 n ×P）； C——输出矩阵（ L × 2n）。在 kΔ 时刻，系统的脉冲响应函数矩阵可写成如下形式：将式(3-11)代入式(3-10)中得：式中 P——可观性矩阵； Q ——可控性矩阵； α、β ——可观、可控性指数。 式(3-11)和式(3-12)给出了被辨识系统脉冲响应及 Hankel 分块矩阵与其特征系统矩阵 ABC之间的关系，基于这样的关系，可以推导出最小特征系统的ABC。具体推导请详见相关文献，这里给出主要公式及结论：（3）算法相关说明 a)关于奇异值的取舍 式(3-13)进行奇异值分解时，Σ为奇异值矩阵，理论上形式如下：量及测试精度有限，Σ形式上为满秩，但只有前r个奇异值的精度可以保证，而由于算法为噪声提供了出口，序号大于r的奇异值则可能对应于虚假模态，实际应用中应予以去除。至于r值到底应当取多少，要视具体识别问题而定。一般来说，我们采用试算的方法，在正式识别前，先进行试验性的识别，取不同的r值，并比较识别效果，取较合理的r值。 b)关于α、β的取值 α和β的取值原则是使Hankel分块矩阵有最小的相对不变的秩，这个秩的大小为2N，N为被识别结构的阶次。理论上如果测试数据不含噪声，Hankel阵没有秩的亏损，则的最小尺寸应为2N×2N，假设的尺寸为L×P，其中L为测点数，P为激励点数（在联合NExT法进行识别时为参考点数），则的大小为Lα×Pβ，其中Lα≥2N,Pβ≥2N。但在实际上，由于噪声的存在，导致了Hankel矩阵秩的亏损，必须适当增加α和β来使的秩达到相对稳定不变。所谓相对稳定，是指的第r个奇异值之后的各奇异值数值差小于给定的阀值，我们就称的秩达到r时已经相对稳定了，阀值确定具有主观因素。 在用NExT法进行模态参数识别时，α和β尽量取值相同，同时α和β的取值不能太大，否则将增加ERA对噪声的敏感性，容易引入虚假模态，一般原则是α≤2N,β≤2N。 c) 关于参考点的选取 在利用NExT和ERA进行参数识别时，参考点选择对识别结果会产生影响。参考点的位置不应在任何所需得到的各阶模态振型的节点上，而应尽量在各振型幅值较大的地方，这样响应数据中每个模态的特征信号将更加明显。在进行实际结构损伤识别时，应尽量得到真实结构的近似有限元模型，并对其进行理论模态分析，得到振型和频率。虽然有限元模型于真实模型存在差别，但振型的大致形状是一致的，所以根据理论模态分析得到的振型结果来布置传感器位置和选择参考点位置是可行的。 3 模态参数识别 由振动微分方程与状态空间方程的关系，很容易由系统矩阵ABC得到模态参数，这里给出最后结论：对A进行特征值分解：