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基于倾角仪的桥梁挠度在线监测 1 桥梁结构挠度分析 在均布荷载p(x)作用下，结构的挠度方程y(x)可由以下微分方程求得， 2 挠度拟合振型阶数的确定 由无穷级数的收敛性可知，随着式（4-8）中采用振型阶数的增加，挠度值必将收敛于真实挠度值，即随着振型阶数的增加，第 n 振型对给定点处挠度的贡献与第 1 阶振型的贡献之比收敛于 0，同时相邻两阶振型对给定点处挠度的贡献之差收敛于 0。因此，根据不同的精度要求，可以由公式（4-9）和公式（4-10）作为选取振型阶数的依据。 3 测点数量和位置的确定 由上式可知，当mn时，不能确定振型系数Aj；当m=n时，如果由“转角”振型构成的方程组系数矩阵满秩，则能得到唯一的振型组合系数解，而当系数矩阵不满秩时，亦不能确定振型系数；当mn时，若系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩相同且等于n，则振型系数有唯一解，否则只能通过拟合的方法求解。由此可见，若想得到n阶振型的组合系数，至少需要n个倾角仪布置在合理的位置。实际工程中，由于测量误差的存在，一般采用多于 n个的倾角仪，采用最小二乘拟合得到一组“最优”解。倾角仪应布置在各阶振型倾角值最大处，且应分散布置，如图4-1和图4-2所示，以提高信噪比，使系数矩阵的秩尽量大。 实际桥梁结构大多为正对称结构，其奇数阶竖弯振型为正对称，偶数阶竖弯振型为反对称（见图 4-3），这也就是说对于主跨跨中挠度而言，偶数阶振型没有贡献，而人们主要关心的也正是主跨跨中挠度。因此，对于一座正对称桥梁而言，其跨中挠度的拟合只需考虑奇数阶振型即可。 由于偶函数的倒数是奇函数，奇函数的倒数为偶函数，故对称结构奇数阶竖弯振型的倾角为反对称，而偶数阶竖弯振型的倾角为正对称，如图 4-4 所示。因此，当两个倾角仪布置在正对称位置时，两点倾角之差即为奇数阶振型的倾角之和，两点倾角之和即为偶数阶振型的倾角之和，即 综上所述，测量具有正对称性的桥梁结构跨中挠度时，倾角仪只需布置在奇数阶振型的倾角峰值点，且关于跨中对称布置。计算各奇数阶振型的组合系数时，先将对称测点的倾角测量值相减，见公式（4-14），即可以过滤掉偶数阶振型的影响。在以下算例中，桥梁结构均具有对称性，且只考虑主跨跨中挠度。 4 简支梁跨中挠度在线监测 长度为L、抗弯刚度为EI的简支梁的自振频率和振型为 由上式可知，第 3 阶振型对跨中挠度的贡献仅为第 1 阶振型贡献的 0.4%，因此采用前 3 阶振型即可满足精度要求。 在x0处集中荷载P作用下，各阶振型组合系数为 当简支梁桥同时作用有均布荷载和多个集中荷载时，由线性叠加原理可知，其挠曲方程采用前 5 阶振型拟合同样可得到较高的精度。根据前面提出的倾角仪布置原则，简支梁桥跨中挠度监测测点布置如图 4-6 所示。 为了验证此布点方案的有效性，表4-1中列举了四种不同工况下的跨中挠度理论值和拟合值（假设P=qL/2，且令PL3/EI=V），从表中可以看出，不论荷载形式和作用位置如何，不考虑测量噪声时，采用前5阶振型且按照图4-6进行测点布置均能较准确地测量跨中挠度。将各测点得到的倾角值添加5%的随机噪声后，前5阶振型仍能对跨中挠度进行有效的拟合。 表 4-1 采用前 5 阶振型拟合简支梁桥跨中挠度 Table 4-1 Fitting mid-span the deflections of simple support bridge with 5 modes 5 连续梁跨中挠度在线监测 连续梁的自振特性一般需要通过解超越方程获得。下面本章以某三跨连续为例，讨论连续梁跨中挠度的在线性监测问题。该连续梁跨径布置为40m+65m+40m=145m，抗弯刚度EI为1.275x1011m4，单位长度质量m为1.2x104kg/m。其前9阶（奇数阶）振型及倾角分布如如图4-7和图4-8所示。 在集中荷载作用下各阶振型对跨中挠度贡献与第1阶挠度贡献之比如图4-9所示。从图中可以看出，第9阶与第1阶的挠度贡献比ε19最大为2%。计算结果表明，在均布荷载作用下ε19仅为0.08%。因此，可采用前9阶振型拟合连续梁跨中挠度，相应的测点布置如图 4-7和图4-8所示。 5 种不同工况下的拟合效果如表 4-2 所示。从表中可以看出，不考虑测量噪声时，采用前 9 阶振型且按照前述的测点布置方案可以很好拟合连续梁桥跨中挠度。将各测点得到的倾角值添加 5%的随机噪声后，前 9 阶振型仍能对跨中挠度进行有效地拟合。 表 4-2 采用前 9 阶振型拟合三跨连续梁桥跨中挠度 Table 4-2 Fitting the mid-span deflections of three-spans continuous beam bridge with 9 modes 6 斜拉桥跨中挠度在线监测 以峪道河大桥为例，讨论斜拉桥