高中数学第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角知识巧解学案.pdf

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐 学必求其心得，业必贵于专精 1。1.1 任意角 疱工巧解牛 知识•巧学 一、正角、负角、零角 1.一条射线的端点是O ，它从初始位置OA 旋转到终止位置OB,形成 一个角α，点O 是角α的顶点,射线OA、OB 分别是角α的始边、终 边。我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形 成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就 把角的概念推广到了任意角。旋转一周角的大小记为 360° ，如图 1—1-1. 图1—1-1 2. 由于图1-1-1 （1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的， 所以 α=45°，β=—315° ；图1—1-1(2)中的 α=30°,β=390°，γ=-60° 。 显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关. 图1—1—2 如图1-1-2 ，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置,接着再旋 1 常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》 好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》 学必求其心得，业必贵于专精 转-30°到OC 的位置，则∠AOC= ∠AOB+ ∠BOC=90°+(-30°）=60° 。 学法一得 引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角 的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量 等于各角旋转量的和。 3 。在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数 及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。显然,如果以第 一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三 个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始 边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小. 二、象限角 1。若把角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那 么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角. 图1—1—3 例如：由于图 1—1-3 甲中的角45° 、405° 、-315°都是始边与x 轴的 非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角; 同理图1-1-3 乙中的角480°是第二象限的角，—70° 、290°都是第四 象限的角. 2 。表示各个象限角时,可以先在 0°—360°范围内确定角的界限，然 后再加上 360°的整数倍,如第一象限角，在0°—360°范围内 ，第一象 2 先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹 一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。——《增广贤文》 学必求其心得，业必贵于专精 限角表示为0° ＜α＜90° ，然后在两端加上k· 360° ，k ∈Z ，即可得到 第一象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k· 360°+90° ，k ∈Z } ，其他 各象限角同理可得。 3 。特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一 个象限。例如0°、90° 、—180°、630°等,这些角都不属于任何一个象 限，我们称之为非象限角,也叫象限界角。与象限角的确定方法相同， 终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为｛α|α=k·360°，k ∈Z }.同理 可得其他非象限角的集合. 深化升华 角以终边的位置为分类标准，被分为象限角与非象限角, 象限角及非象限角都是相对于坐标系而言的.只有在角的顶点与原 点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合这一前提下，才能讨论象限 角与非象限角.在直角坐标系内讨论角，可以使角的讨论得到简化， 还能有效地表示出角的终边位置“周而复始”的现象. 三、与角α 终边相同的角 1。设S={β|β=45°+k·360°，k ∈Z }，显然，所有与45°角终边相同的 角都是集合S 的元素;反过来,集合S 中的任何一个元素也都与45°角 的终边相同。把角 α 推广到一般形式有:所有与角 α 终边相同的角,