第三课时 任意角的三角函数例题展示(笔记整理).pdfVIP

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》 第三课时 任意角的三角函数例题展示（笔记整理） 知识点一：任意角的三角函数 设 α 是一个任意角,P(x,y)是 α 终边上任意一点,点 P 与原点的距离 r= x 2  y 2 0,那么: y y x x ① 叫做 α 的正弦,即 sinα= ; ① 叫做 α 的余弦,即 cosα= ; r r r r y y ① 叫做 α 的正切,即tanα= (x≠0). x x 这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角 α 的三角函数值只与α 有关,而与点 P 在角的终边上的位置无关。 例 1 已知角α 的终边经过点P0(-3,-4),求角 α 的正弦、余弦和正切值. 4 3 解:由已知,可得 OP0= (3)2  (4)2 =5.于是 sinα==  ;cosα=x  ; 5 5 y sin 4 tanα= = = . x cosa 3 5 变式训练.求 的正弦、余弦和正切值. 3 5 解:在平面直角坐标系中,作①AOB= ,如图： 3 1 3  易知①AOB 的终边与单位圆的交点坐标为( , ), 2 2 5 3 5 1 5 所以 sin =  ,cos = ,tan =  3 . 3 2 3 2 3 知识点二：象限角的三角函数符号 正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;余弦函数在第一、四象 限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的. 从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 例 2 .求证:当且仅当下列不等式组成立时,角 θ 为第三象限角. 万两黄金容易得，知心一个也难求。——《曹雪芹》 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》 sin 0,   tan 0.  证明:我们证明如果①①式都成立,那么 θ 为第三象限角. 因为①sinθ0 成立,所以 θ 角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于 y 轴的非正半 轴上;又因为①式 tanθ0 成立,所以 θ 角的终边可能位于第一或第三象限.因为①①式都成立,所 以θ 角的终边只能位于第三象限. 于是角 θ 为第三象限角.