弹性力学 第五章 第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理.pdf

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫 第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理 知识点 弹性力学基本方程 位移解法 边界条件 位移边界条件 位移表示的平衡微分方程 变形协调方程 应力解法 混合解法 体力为常量时的变形协调方程 应变能定理 物理量的性质 解的唯一性原理 逆解法和半逆解法 圣维南原理 解的迭加原理,弹性力学基本求解方法 一、内容介绍 通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用 公式。本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求 解弹性力学问题的方法。 弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计 15 个，基本方程有 平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是 15 个。面对这样一个庞大的方程组， 直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。根据这一要求，本章的主要 任务有三个： 一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类； 二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程， 得到基本解法。弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法 等。应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。 三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原 理、叠加原理和圣维南原理等 ，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。 如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容 ，以保 证今后课程的学习。 二、 重点 1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示 的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合 解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维 我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》 人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》 南原理 §5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题 学习思路: 通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学 基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并 且对求解方法作初步介绍。 弹性力学问题具有 15 个基本未知量，基本方程也是 15 个，因此问题求解归 结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。 由于基本方程与 15 个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方 程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应 力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量， 不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由， 为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。 根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。 上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。 学习要点： 1、弹性力学基本方程；2、本构方程