【ILMT】对2018合肥零模圆锥曲线题的探讨.doc

心之所向，素履以往 湖南邵阳杨歆对2018年合肥市高三零模考试圆锥曲线题的探讨 以前一直想写点东西，分享做圆锥曲线题的一些经验，总是半途而废. 恰值今天天气凉爽，心平气和，特码此一篇，完整地展示我对一道圆锥曲线题的思考、分析、计算、检验、及书写过程，希望能对愿意听我唠叨几句的同道或学生有所帮助. 这是今年合肥市高三入学考试的一道题，完整题目如下. 题目：已知椭圆经过点，且离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设分别是椭圆的上顶点和右顶点，点是椭圆在第一象限内的一点，直线分别交轴、轴于点，求四边形面积的最小值. 先从画图说起 要解析几何的有关考题，最重要的第一步当然是画出草图. 这道题给定了椭圆的离心率是，且焦点在轴上，最常见的当然就是，将点的坐标代入，发现左边等于2，所以椭圆方程需要调整为，即. 画图时一定要看清楚对象，不要张冠李戴. 这道题的图形非常简单，故不再赘述，如下图所示： 目标分析（问题分析） 题目是要我们求四边形的面积，如图所示，我们很自然地会想到用割补法，把四边形的面积转化为两个直角三角形面积之差，即 ， 所以我们只要求的最小值. 变量选择与目标代数化 我们在选定变量时，一般选取最原始的变化量，如动点的坐标、动直线的方程等. 具体到这道题，点无疑是图形变化的“罪魁祸首”，所以用它的坐标作为自变量是比较自然的一种思路.这又有两种设法：设或设，前者的优势是可以节省墨水，但是化简完之后估计还是要用到三角代换求最值，考虑到这道题表示过程并不复杂，所以我选择的是后者. 当点坐标为时，直线和直线的方程分别为： ，. 在上述两个方程中，分别令和，得点和的坐标分别为： ，. 这两个坐标是非常关键的，绝对不能算错，所以在这里最好停一下做个检验. 如何进行检验呢？ 我觉得可以从定性和定量两个角度来进行检验.所谓定性检验，第一可以看算出来点的横坐标和点的纵坐标是不是都是正的，这点根据椭圆的范围可以看出来是符合的；第二可以看结构的对称性，这显然也是符合的.而所谓定量检验，就是取特殊情况与实际结果和我们算得的结果对比一下，看是否一致. 取的特殊情况应保证计算简单，便于判断，因此优先取极限情况（和的时候，分别对应和）. 好了，至少我们确定算到这里是对的，可以放心继续往下搞，得到 . 这里我们注意到了正余弦函数的有界性，所以绝对值直接去掉了，接下来所有的问题就是求函数的最小值，其中： ，. 最常用的手法就是令，显然，且，所以 . 顺着算下来很舒服，但是不排除有计算错误的可能，所以我们再把（即）代入中，得到 ， 于是我们确定答案是正确的，从得到 ， 故当即点的坐标为时，四边形面积取得最小值. 梳理解题过程 在正式梳理过程时，我们可以简化一些步骤，下面是本人提供的参考答案： 解：（1）依题可知 解：（1）依题可知，且， 解得 ，所以椭圆的方程为. （2）易知，依题可设，其中. 直线的方程为，令，得，即. 直线的方程为，令，得，即. 令，显然，且，所以 ， 故当即点的坐标为时，四边形面积取得最小值. 在书写过程中进行的操作有： （i）不解出，而是直接解出； （ii）没有对和的直线方程化简，因为这不是最终结果，不需要刻意化简（再抄一遍费时费墨，不值得）； （iii）将的换元步骤提前，让四边形面积的计算过程能顺利连接，减少分段. 题源与标答 本人在画出来题图之后，感觉题图非常熟悉，似乎来源于某年北京市的高考题，然后去翻了一下高考真题，发现题图果然与2016年北京市高考题一模一样，当时这道题要证明的是为定值，按照我们前面的设法，很容易证明这一点： 据此，我们可以得到这道模拟题的又一种做法——先证明，然后通过配凑利用均值不等式求解. . 当时模拟题的参考答案就是采取的这种做法（不过，参考答案设的是）.个人感觉，这个题目在原来的高考题基础上进行改编，应该说是比较成功的，但是参考答案给的却不合理——这道题既然是求最值，当然是把目标式表示出来再求它的最值更为直接，像参考答案那样先证明则像是开了上帝视角（毕竟面积的最值和是没有直接联系的），在此对命题组提供这种完全没站在做题者角度的参考答案提出强烈质疑. 再次探究 前面我们选的是以点的坐标为变量进行一系列操作，这是因为有了点，才有其他的一切. 但是，从另外一个角度看，我们也可以以的横、纵坐标作为自变量，利用点在椭圆上构建之间的约束条件，再求面积的最小值. 设，联立，解得点的坐标为，它满足椭圆方程，故 . 两边约掉一个8，再去分母，得到 ， 整理即得 ， 即 ， 所以 或. 即 或（舍