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模式识别导论习题集 1、设一幅256×256大小的图像，如表示成向量，其维数是多少？如按行串接成一维，则第3行第4个象素在向量表示中的序号。 解：其维数为2；序号为256×2＋4＝516 2、如标准数字1在5×7的方格中表示成如图所示的黑白图像，黑为1，白为0，现若有一数字1在5×7网格中向左错了一列。试用分别计算要与标准模板之间的欧氏距离、绝对值偏差、偏差的夹角表示，异己用“异或”计算两者差异。 解：把该图像的特征向量为5×7＝35维，其中标准模版的特征向量为： x=[0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0]T 待测样本的特征向量为： y=[0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0]T 因此欧氏距离为 ，绝对值偏差为， 夹角余弦为，因此夹角为90度。 3、哈明距离常用来计算二进制之间的相似度，如011与010的哈明距离为1，010与100距离为3。现用来计算7位LED编码表示的个数字之间的相似度，试计算3与其它数字中的哪个数字的哈明距离最小。 解：是“9”，距离为1 4、对一个染色体分别用一下两种方法描述： (1)计算其面积、周长、面积/周长、面积与其外接矩形面积之比可以得到一些特征描述，如何利用这四个值？属于特征向量法，还是结构表示法？　　(2)按其轮廓线的形状分成几种类型，表示成a、b、c等如图表示，如何利用这些量？属哪种描述方法？　　(3)设想其他结构描述方法。 解：　　（1）这是一种特征描述方法，其中面积周长可以体现染色体大小，面积周长比值越小，说明染色体越粗，面积占外接矩形的比例也体现了染色体的粗细。把这四个值组成一个维数为4的特征向量，该特征向量可以描述染色体的一些重要特征，可以按照特征向量匹配方法计算样本间的相似度。可以区分染色体和其它圆形、椭圆细胞结构。　　（2）a形曲线表示水平方向的凹陷，b形表示竖直方向的凹陷，c形指两个凹陷之间的突起，把这些值从左上角开始，按顺时针方向绕一圈，可以得到一个序列描述染色体的边界。它可以很好的体现染色体的形状，用于区分X和Y染色体很合适。这是结构表示法。　　（3）可以先提取待识别形状的骨架，在图中用蓝色表示，然后，用树形表示骨架图像。 5. 设在一维特征空间中两类样本服从正态分布，==1，μ1=0，μ2=3，两类先验概率之比，试求按基于最小错误率贝叶斯决策原则的决策分界面的x值。 解：按照公式（2－84），分界面上的点应满足： 6. 设有两类正态分布的样本集，第一类均值，，先验概率，现按基于最小错误率贝叶斯决策设计分类器，试求分类器得分界面。 解：按照公式（2－84），分界面上的点应满足： 7. 已知某一正态分布二维随机变量的协方差矩阵为，均值向量为零向量。试求其mahalanobis距离为1的点的轨迹。（不要求） 8. 设有二维随机变量的分布如图a、b、c所示的三种情况，协方差矩阵表示成，试问这三种分布分别对应哪种情况（A. a120 B. a120 C. a12≈0）？ 解：这3种情况都存在均值向量μ＝0，所以协方差矩阵为 所以对于图a而言，明显有的平均值0,因此a→A, 对于图b而言，明显有的平均值=0,因此b→C, 对于图b而言，明显有的平均值0,因此c→B, a b c　　　　 图1 9. 什么叫对称矩阵？什么叫正定矩阵？半正定矩阵？试问协方差矩阵是否是对称矩阵？ 是否是正定矩阵或半正定矩阵？ 答：对称阵：aij=aji。正定阵：它的特征值都大于0。半正定阵：它的特征值都大于等于0。协方差矩阵是正定阵。 10. 设有N个d维向量组成样本集，表示成X1，…，Xn，Σ是任一个非奇异对称阵，证明使为最小的向量X是该样本集的均值向量。（不要求） 证明：显然可以看出这是一个多元二次式。故极值位置是导数为零的位置，求导，得：　　,这是一个一次方程组，在处得零。故极值在这里取得。 11. 设一个二维空间中的两类样本服从正态分布，其参数分别为，，，，先验概率,试证明其基于最小错误率的贝叶斯决策分界面方程为一圆，并求其方程。 证明：先验概率相等条件下，基于最小错误率贝叶斯决策的分界面上两类条件概率密度函数相等。因此有：　　化简为，是一个圆的方程 12. 将上题推广到一般情况（不要求）　　（1） 若，,试说明先验概率相等条件下，基于最小错误率的贝叶斯决策面是否是超球面；　　（2） 它能否用m