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因式分解的常用方法第一部分:方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能, 发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b);
(2) (a±b)2
= a2±2ab+b2
——— a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 下面再补充两个常用的公式:
------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
例.已知 a,b,c 是?ABC 的三边,且 a2 ? b2 ? c2
则 ?ABC 的形状是( )
? ab ? bc ? ca ,
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
解: a2 ? b2 ? c2
? ab ? bc ? ca ? 2a2 ? 2b2 ? 2c2
? 2ab ? 2bc ? 2ca
? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? 0 ? a ? b ? c
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例 1、分解因式: am ? an ? bm ? bn
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考
虑两组之间的联系。
解:原式= (am ? an) ? (bm ? bn)
= a(m ? n) ? b(m ? n) 每组之间还有公因式!
= (m ? n)(a ? b)
例 2、分解因式: 2ax ? 10ay ? 5by ? bx
解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组; 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式= (2ax ? 10ay) ? (5by ? bx) 原式= (2ax ? bx) ? (?10ay ? 5by)
= 2a(x ? 5 y) ? b(x ? 5 y) = x(2a ? b) ? 5 y(2a ? b)
= (x ? 5 y)(2a ? b) = (2a ? b)(x ? 5 y)
练习:分解因式 1、a 2
ab ? ac ? bc 2、 xy ? x ? y ? 1
(二)分组后能直接运用公式
例 3、分解因式: x 2
y 2
ax ? ay
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:原式= (x 2
? y 2 ) ? (ax ? ay)
= (x ? y)(x ? y) ? a(x ? y)
= (x ? y)(x ? y ? a)
例 4、分解因式: a 2
2ab ? b 2
c 2
解:原式= (a 2
? 2ab ? b 2 ) ? c 2
= (a ? b) 2 ? c 2
= (a ? b ? c)(a ? b ? c)
练习:分解因式 3、 x 2
? x ? 9 y 2
3 y 4、 x 2
y 2
z 2
2 yz
综合练习:(1) x3
x 2 y ? xy 2
y 3
(2) ax 2
bx 2
bx ? ax ? a ? b
(3) x 2
? 6xy ? 9 y 2
? 16a 2
? 8a ? 1 (4) a 2
? 6ab ? 12b ? 9b 2
4a
(5) a 4
? 2a3
a 2
? 9 (6) 4a 2 x ? 4a 2 y ? b 2 x ? b 2 y
(7)x 2
2xy ? xz ? yz ? y 2
a 2
? 2a ? b 2
? 2b ? 2ab ? 1
(9) y( y ? 2) ? (m ? 1)(m ? 1) (10) (a ? c)(a ? c) ? b(b ? 2
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