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高等数学A2知识点
【注意】不考试的知识点:带*号的(除球面坐标系、比值审敛法),二次曲面,斯托克斯公式,
函数的幂级数睁开式的应用,一般周期函数的傅立叶级数,物理应用部分,
一、观点与定义
1、数目积、向量积及坐标表示(向量的地点关系);
2、柱面,旋转曲面的方程形式及常有曲面绘图,平面,直线的方程及其地点关系,平面束;
曲面、曲线、实体在座标平面上的投影
3、偏导数定义及判断一点可导的定义方法;
4、偏导、连续、全微分的关系,方导游数与梯度;
5、极值、条件极值,最值和驻点.及拉格朗日乘数法;
6、七类积分的关系,格林公式、高斯公式;
7、级数的定义,等比级数的和,级数收敛的必需条件,常有级数的敛散性及判断方法。
二、计算
1、求极限
(1)二元函数求极限:代入法、两类特别极限、无量小性质等
(2)极限不存在的判断:取不一样的路径
2、求偏导数或全微分
(1)定义——在某一点可导,常有于分段函数
(2)一个变量为常数,按一元函数求导法例计算,对于指定点的偏导能够先代入一个变量再求;(3)多元复合函数求导——链式法例;
(4)隐函数(方程与方程组)求导及其高阶导数——不要记公式,理解方法;
(5)抽象函数求导及其高阶导数——注意符号;
z
zxx
zy
y
(6)求(指定点)全微分或判断能否可微——用定义lim
2
0
0
y
2
x
3、求重积分(绘图)
(1)二重积分—坐标系以及地区种类的选择【由地区和被积函数特色定】,积分序次的互换;
(2)三重积分—坐标系以及地区种类的选择【由地区和被积函数特色定】;
(3)对称性地区上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。
4、求曲线、面积分(绘图)
“一代、二换、三定限”
(1)代入参数方程或zfx,y;不一样的积分换的公式不一样;
(2)定限或定地区的时候注意方向性【第二类】及定限规则(3)格林公式、高斯公式的应用——考证条件并灵巧使用;
(4)对称性地区上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。
5、无量级数
(1)数项级数审敛;
(2)幂级数收敛域与和函数,函数睁开成幂级数;
(3)傅立叶级数的收敛状况——Dirichlet定理的结论
三、应用
1、偏导数的几何应用——空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方导游数与梯
度。
2、偏导数求极值以及条件极值、最值;
3、重积分、曲线、面的几何应用——平面地区的面积、空间曲面的面积,曲顶柱体的体积;
四、证明
1、极限不存在、连续性、可导、可微;
2、偏导数有关等式;
3、格林公式——积分与路径没关、原函数;
4、级数的敛散性判断——注意级数的分类与对应方法;
5、向量的地点关系,平面、直线的地点关系等几何问题。
曲面及其方程
常有曲面
方程
柱面
只含有两个字母的三原方程,缺乏的字母为母线
圆锥面
z
x2
y2
方程中
旋转
旋转抛物面
z
x2
y2或z1
x2
y2
含有
两个字母
曲面
球
z
R2
x2
y2或xx0
yy0
zz0
2
2
2
的
圆柱面
x2
y2
R2或z2
y2
R2或x2
z2
R2
平方和
平面与直线
方程
点向式
一般式
两点式
直线
xx0
yy0
zz0
A1xB1yC1zD1
xx0
yy0
zz0
m
n
p
AxByCzD
2
x1x0
y1
y0
z1z0
2
2
2
点法式
一般式
截距式
平面
Axx0Byy0
Czz00
AxByCzD
x
y
z
1
a
b
c
直线与直线垂直、平行、订交(夹角)
地点
平面与平面垂直、平行、订交(夹角)
关系
直线与平面垂直、平行、订交(夹角)、平面束
偏导、连续、可微
偏导数连续
可微
函数连续函数偏导数存在
隐函数的求导
形式
确立的函数
f
x,y
0
y
f
x
一个
方程
x,y,z
0
z
f
x,y
f
f
x,y,z
0
y
yx
g
x,y,z
0
z
zx
方程组
fu,v,x,y
0
uux,y
gu,v,x,y
0
vvx,y
求导方法
视y为x的函数,两头对x求导,解得y
视z为x,y的函数,两头对x,y求偏导,解得zx,zy
视y,z为x的函数,两头同时对x求导,解得y,z
视u,v为x,y的函数,两头对x,y求偏导,
解得ux,uy,vx,vy
高阶导数与偏导数的求导
复合函数的链式法例
函数
中间变量
求导【链式法例】
z
f
u,v
u
ux
dz
zdu
zdv
注意导数与偏导数的符号
v
vx
dx
udx
vdx
u
ux,y
注意求导要完好
z
f
u,v
z
zu
zv,
z
zu
zv
注意抽象复合函数的符号
vvx,y
x
ux
vx
y
uy
vy
偏导数的应用
问题
应用
曲线的切线与法平面
曲线x
t,y
t,z
t
r
t,
t,
t
T
曲面的切平面与法线
曲面
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