2018-2019第一学期线性代数B期末试题A含答案.docxVIP

PAGE5 / NUMPAGES5 2018-2019第一学期线性代数B期末试题A 1. （10分）计算行列式. 2. （10分）设，求矩阵. 3. （10分）考虑向量 (1) 求向量组的秩; (2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示。 4.（10分）已知向量组与向量组 有相同的秩，并且 可由 线性表示，求 的值。 5、（16分） 取何值时，方程组 有无穷多组解？并求通解。 6.（8分）若三阶方阵与对角方阵相似，求行列式 的值（其中为矩阵的逆矩阵）。 7、（8分）求向量，在基,下的坐标。 8、（12分）设有矩阵（1）写出矩阵的二次型；（2）求一个正交相似变换矩阵，将化为对角矩阵；（3）判断是否是正定二次型。 9、(8分) 设为矩阵，证明与等价的充要条件为。 10、（8分）设是阶方阵，是阶单位矩阵，可逆，且， 证明（1） ；（2） 2018-2019第一学期线性代数B期末试题A解答 1. （10分）计算行列式. 解 10分 2. （10分）设，求矩阵. 解 ,（4分） 8分 故 10分 3. （10分）考虑向量 (1) 求向量组的秩; (2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示. 解 ，向量组的秩为3, 7分 极大线性无关组为 10分 4.（10分）已知向量组与向量组 有相同的秩，并且 可由 线性表示，求 的值。 解 可由 线性表示，即 ， 线性相关 所以，解得 . 5分 又由与有相同的秩，即 的秩为2 所以 ，解得 . 10分 5、（16分） 取何值时，方程组 有无穷多组解？并求通解。 解：方程组的增广矩阵 9分 如果方程组有无穷多组解，则 12 ， 16分 6.（8分）若三阶方阵与对角方阵相似，求行列式 的值（其中为矩阵的逆矩阵）。 解： 因为 ，当的特征值为，则的特征值为， 4分 又是的特征值，因为3阶方阵的特征值为1,、2、-3，所以3阶方阵的特征值为:4、1、-4， 则 8分 7、（8分）求向量，在基,下的坐标。 解 求向量，在基,下的坐标。 解 法一 设向量在基下的坐标为，则 （4分） （8分） 法二 4分 而 故有 8分 8、（12分）设有矩阵.（1）写出矩阵的二次型；（2）求一个正交相似变换矩阵，将化为对角矩阵；（3）判断是否是正定二次型。 解：（1） 2分 (2) 可得特征值： 5分 相应的特征向量为：对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系 对于，解齐次线性方程组， 得基础解系 ，对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系 实对称矩阵三个特征不相同，必两两正交，对单位化 ；； 10分 （3）因为都为正，所以是正定二次型。 12分 9、(8分) 设为矩阵，证明与等价的充要条件为。 证明：（必要性）初等变换不改变矩阵的秩，所以 4分 （充分性）设，则A、B的标准型都为,即A、B都与等价，从而A与B等价。 8分 10、（8分）设是阶方阵，是阶单位矩阵，可逆，且， 证明（1） ；（2） 解 （1） 由所以有 4分 （2）由，故 有（1）知，且由已知 故有 8分