贝叶斯统计复习.docx

贝叶斯统计习题 设? 是一批产品的不合格率，从中抽取8 个产品进行检验，发现3 个不合格品，假如先验分布为 （1）? U（0,1） ?（?）= ?2（1-?）， 0?1 ?（2） ? 求? 的后验分布。解： ? 0, 其它 m ?x?? ?1 p(x | ?)? ?? ?d? ? ?1 C3? 3 (1??)5 *2(1 ??)d? ? ?1112? 3 (1??)6 d? ? 2 0 0 0 0 ? ? p(x | ?)? ?? ? 0 15 ? ? x ? m ?x? ? 840? 3 (1??)6 ,0 ? ? ? 1 设 x ,x , 1 2 ,x 是来自均匀分布U（0,? ）的一个样本，又设? 的先验分布为Pareto 分布， n 其密度函数为  ???? /?? +1， ?? 0 0?（?）= ? 0 0 ? 0, ? ? ? 0 其中参数? 0,?0 ，证明：? 的后验分布仍为Pareto 分布。 0 解：样本联合分布为： p(x ?) ? 1 ? n ,0 ? x ? ? ???? / ???1 , ? ? ? 00? (? ) ? ? 0 0 ? 0, ? ? ? 0 ? (? x) ? p(x ?)? (?) ? ??? / ???n?1 ? 1/ ???n?1,? ?? ? max?? , x , , x ? 0 1 0 1 n 因此? 的后验分布的核为1/ ? ??n?1 ，仍表现为Pareto 分布密度函数的核 ?(? ? n)?? ?n / ???n?1, ? ? ? 1 1即? (? x) ? ? 1 1 ? 0, ? ? ? 1 即得证。 设 x ,x , 1 2 ,x 是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为 p(x|?)=?e-?x ,x0 ， n 证明：伽玛分布Ga(?,?) 是参数? 的共轭先验分布。 若从先验信息得知，先验均值为，先验标准差为，确定其超参数?,? 。 解： ?1?样本的似然函数：p(x ?) ? ?ne ??  ?? ?n x i i?1  ? ?ne? nx? ?(?) ? ? ?? ??? ?1e? ?? 参数?的后验分布? (? x) ? p(x ?)?(?) ? ?n?? ?1e?( ? ?nx)? 服从伽马分布Ga ?? ? n, ? ? nx ?. ?? ? 0.0002 (2) ? ? ??? ? ?? 2 ? 0.0001 ?? 2 ? ? ? 4, ? ? 20000. 设一批产品的不合格品率为? ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设 X 为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则 X 服从几何分布，其分布列为 P(X =x|?)=? ?1-? ?x-1 ,x=1,2, 假如? 只能以相同的概率取三个值 1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值 x=3 ，求? 的最大后 验估计? 。 MD 解：? 的先验分布为 在? 给定的条件下，X=3 的条件概率为 联合概率为 X=3 的无条件概率为 ? 的后验分布为 5。设 x 是来自如下指数分布的一个观察值， p(x|?)=e-(x -?) ,x ? ? 取柯西分布作为? 的先验分布，即 ? ?? ?= ? 1 ?1+? 2 ? ?,-??? 求? 的最大后验估计? 。 MD 解 后验密度 设 x=(x ,x , 1 2 ,x ) 是来自均匀分布U (0,? ) 的一个样本，又设? 服从Pareto 分布，密度函 n 数为 0 0???? /?? +1， ?? 0 0 ?（?）= ? ? 0, ? ? ? 0 求? 的后验均值和后验方差。 ????  / ???1 , ? ? ? 0解：? 的先验分布为：? (? ) ? ? 0 ? 0, ? ? ? 0令? ? max?? , 0 1 0 x , , x ? 1 n 0 ?(? ? n)?? ?n / ???n?1, ? ? ? 1 1可得后验分布为：? (? x) ? ? 1 1 ? 0, ? ? ? 1 则? 的后验期望估计为： E(? x) ? (? ? n)? 1n ?? ? 1 ， 1 后验方差为：Var(? x) ? (? ? n)? 2 1(n ?? ?1)2 (n ?? ? 2) . 1 ( ,设 x 服从伽玛分布Ga n 1 ) ，? 的分布为倒伽玛分布IGa(?,?) ， ( , 2 2? ? IGa n ? x ? 证明：在给定 x 的条件下， 的后验分布为倒伽玛分布 ( + , + ) 。 2 2 求? 的后验均值与后验方差。 解：由 x ~ Ga( n , 1 ),? ~ IGa(?, ?) 可以得出 2 2?