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2021 年北京大学优秀中学生暑期学堂数学试题(完整版)
函数 在上非负,则的最大值为_______.
平面内有定圆和动圆,动圆与定圆内切且恒过内不为圆心的一定点,则的圆心轨迹为_______.
椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D .以上都不对
已知 则的最大值是_______.
已知,且满足,则有序数对的组数为( )
0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对
已知,则的最小值为( )
若对任意的恒成立,则的最大值为( )
已知复数是方程的2021个相异根,则=( )
在数列中,已知,且当时,有。记,则的值为( )
9、和式的计算结果最后三位数字是( )
10、实数的十进制小数表示中个位数与十位数字之和为( )
11、设,方程的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点,则该等边三角形的面积为( )
12、已知 对任意的实数均成立,则
13、已知满足方程
则有理数对的对数为________.
14、我们用表示实数的整数部分,用表示实数的小数部分,则关于的不等式
的最小整数解为________。
15、已知为三角形三边长,则 的取值范围为___________.
16、设 有种方式分为3个正整数的倒数之和,有种方式分为3个正奇数的倒数之和,则( )
B. C. D.以上都不对
17、已知,且满足,则大小关系为_____.
18、方程的整数解的组数为_______。
已知实数满足,则最大值为__________。
集合的非空子集中元素和为3的倍数的集合个数为____________。
2021 年北京大学优秀中学生暑期学堂数学试题答案
1、函数 在上非负,则的最大值为_______.
解答:由题,即恒成立.从而我们只需求函数的最下值.注意到
且,故在处取最小值,从而
从而的最大值为6.
2、平面内有定圆和动圆,动圆与定圆内切且恒过内不为圆心的一定点,则的圆心轨迹为( )
椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D .以上都不对
解答:
不妨设定圆圆心为,半径为;动圆圆心为,半径为,定点记,切点为.如图所示,我们有
这说明点到两定点与的距离之和为定值,且大于两定点之间的距离. 因此的圆心的轨迹为椭圆。则正确答案为A.
3、已知 则的最大值是_______.
解答:注意到
即,当且仅当时,等号成立,故的最大值为.
4、已知,且满足,则有序数对的组数为( )
0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对
解答:令,由题可知,且
利用函数与其反函数的图像关于直线对称,我们做出,以及在区间的大致图像,如下图:
其中为两条虚线的交点横坐标,为两条实线的交点横坐标。从而由图可知:有序数对的组数为1,所以正确答案为A.
5、已知,则的最小值为( )
解答:令,则我们有
即的最小值为。
6、若对任意的恒成立,则的最大值为( )
解答:原题即为
恒成立
所以我们有
恒成立。从而有
于是可得的最大值为.
7、已知复数是方程的2021个相异根,则=( )
解答:不妨令,则是方程
(*)
的所有根。将(*)式展开得
从而由韦达定理知
8、在数列中,已知,且当时,有。记,则的值为( )
解答:注意到,当时,有
从而我们有
9、和式的计算结果最后三位数字是( )
解答:注意到对任意的,我们有
且显然。所以
从而得末三位数为000.
10、实数的十进制小数表示中个位数与十位数字之和为( )
解答:注意到当时,我们有,同时
从而有
由于 因此我们有
.
这说明实数的个位数字与十位数字之和为9+9=18.
11、设,方程的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点,则该等边三角形的面积为( )
解答:我们容易知道若为方程的根,则也为的根。注意到由题知方程共有三个不等根,这说明其必存在纯虚根,不妨设,则其余两根,
从而由韦达定理我们有
故有,于是可得
从而该等边三角形的面积为。
12、已知 对任意的实数均成立,则
解答:考虑更一般的情形:若 则.事实上,我们注意到
.
所以的系数.
回到原题,当时,有。
13、已知满足方程
则有理数对的对数为________.
解答:由于,则有
也即
由于在有理数域上线性无关,则
从而有理数对的对数为1.
14、我们用表示实数的整数部分,用表示实数的小数部分,则关于的不等式
的最小整数解为________。
解答:显然有,则有
从而原不等式转化为
不妨令
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