高中教学课件：微专题42 必要性探路.pptx

上篇板块五　函数与导数微专题42　必要性探路 1.必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法.2.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的类别，降低了思维难度. 核心归纳类型一　取点探路对已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取0或1，对数函数常取1或e等. 训练1 已知f(x)＝ax2－4ln(x－1)，对x∈[2，e＋1]恒有f(x)≤1，求实数a的取值范围. 解　必要性：因为对x∈[2，e＋1]恒有f(x)≤1. 即ax2－4ln(x－1)－1≤0，令g(x)＝ax2－4ln(x－1)－1， 类型二　极值点探路1.已知f(x)≤0(或f(x)≥0)，找f(x)的极大值(或极小值)点探路；2.对于f(x)≤g(x)，找f(x)的极大值点，g(x)的极小值点探路.核心归纳 例2 已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ae2(x－1)＋1，a≥0.(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间(0，＋∞)上的零点个数； 解　当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋1－e2(x－1).当x∈(0，1)时，f(x)＝ln(x＋1)＋1－e2(x－1)1－e2(x－1)1－1＝0，此时无零点. 当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减，f(1)＝ln 2＋1－1＝ln 20，f(2)＝ln 3＋1－e20，?x0∈(1，2)，使f(x0)＝0.∴当a＝1时，函数f(x)在区间 (0，＋∞)上有且只有一个零点. 当a∈[0，2]时，e2(x－1)－a·e(x－1)≥e2(x－1)－2·e(x－1).令n(x)＝e2(x－1)－2·e(x－1)，x1，则n′(x)＝2e2(x－1)－2e. 训练2 已知a0，函数f(x)＝ax2－x，g(x)＝ln x.是否存在实数a，使f(x)≥g(ax)恒成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 解　必要性：令φ(x)＝f(x)－g(ax)＝ax2－x－ln(ax)，x0，当0x1时，φ′(x)0，φ(x)单调递减；当x1时，φ′(x)0，φ(x)单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝0，符合题意.综上可知a＝1. 类型三　保号性探路核心归纳“保号性”的完整提法是“局部保号性”，它是微积分学中的一个重要概念，有多种叙述形式，我们介绍一种比较容易理解的形式：已知函数f(x)在a点连续，且f(a)0，则存在σ0，当|x－a|σ时，f(x)0(注意它的逆命题是假命题). 例3 已知函数f(x)＝axln x－xa，其中a∈R＋.若函数f(x)是(1，＋∞)内的减函数，求正实数a的取值范围.解　必要性：因为函数f(x)是(1，＋∞)内的减函数，所以f′(x)＝aln x＋a－axa－1＝a(ln x＋1－xa－1)≤0在(1，＋∞)内恒成立.令g(x)＝ln x＋1－xa－1，因为a0，所以g(x)＝ln x＋1－xa－1≤0在(1，＋∞)内恒成立，保证g(x)在x＝1处有单减趋势，则g′(1)≤0，即g′(1)＝1－(a－1)≤0，则a≥2. 充分性：因为a≥2，所以a－1≥1，因为x1，所以xa－1≥x，则g(x)＝ln x＋1－xa－1≤ln x＋1－x0，所以f′(x)＝a(ln x＋1－x)0.故a的取值范围是[2，＋∞). 类型四　双参数不等式恒成立探路问题此类问题多数是求双参数代数式的最值，基本方法是先移项构造一端是零的不等式，再设出另一端的函数，重点分析此函数自变量取何值时，恰好出现双参数的代数式，进而探出代数式的最值(可能值)，最后再证明此代数式取最值时，原题目中的不等式恒成立.核心归纳 例4 已知函数f(x)＝－2aln x＋2(a＋1)x－x2(a0)，若在函数f(x)的定义域内，总有f(x)≥－x2＋2ax＋b成立，试求a＋b的最大值. 解　必要性：f(x)≥－x2＋2ax＋b，x0， 即2aln x－2x＋b≤0. 令g(x)＝2aln x－2x＋b， 2高分训练 对接高考 一、基本技能练1.已知不等式ea2x－aln(x＋a)－ln a－1≥0恒成立，求实数a的取值范围.解　必要性：依题有a0，当x＝0时，－ln a－aln a≥0，解得0a≤1.充分性：下面证明0a≤1时，题设不等式恒成立.由ex≥x＋1(证明略)易得ea2x－1≥a2x，只需证明a2x－aln(x＋a)－ln a≥0.设g(x)＝a2x－aln(x＋a)－ln a， 2.已