第四章随机分析与随机微分方程.docx

第四章 随机分析（Stochastic analysis） 本章主要介绍随机分析的大体理论，重点介绍在数理金融学领域（资产定价和套期保值）中最常常利用的Brown运动的Ito随机积分、Ito公式、测度变换定理等内容。 §4. 1随机进程的均方积分 通常涉及到的积分由两种：Riemann 积分和 Riemann-Stieltjes积分 Riemann 积分：给定一个函数在区间上的定积分概念为：对区间划分为各点，即，设 ，是上任意一点，，令，对于和式 当极限存在且极限与划分无关，称在区间上可积，积分记为。 闭区间上的有限变差函数都是可积函数。定积分由很多性质，如线性性质，可加性，单调性。 Riemann-Stieltjes积分：给定两个函数，，若是在区间上是单调不减右持续函数，关于函数的定积分概念为：对区间划分为各点，即，设 ，是上任意一点，，令，对于和式 当极限存在且极限与划分无关，称关于函数在区间上可积，积分记为。 当是有界变差函数时，关于函数在区间上可积。Riemann-Stieltjes积分有通常Riemann 积分的所有性质。 随机积分就是指随机进程的积分，即当在上述积分概念中，函数，为随机进程和时对应上述两种积分如何概念？如型如 专门是当随机进程和都为Brown运动时上述积分由如何概念？ 随机进程的均方积分 二阶矩进程 若是随机进程，对任意有 ， 称随机进程为二阶矩进程。 均方收敛 设概念在概率空间上二阶矩存在（）随机变量序列，若是存在随机变量知足，且 称均方收敛，记。 二阶矩随机变量空间： 概率空间上二阶矩存在（）随机变量全部组成的空间。 1）是上的线性空间； 2）是内积空间， 内积概念为 Schwarz不等式， 3）是线性赋范空间；，范数概念为 4）是距离空间；，距离概念为 5）在均方收敛意义下是完备的赋范线性空间，即Banach空间。 均方持续性 二阶矩进程称为在均方持续，若是 （均方收敛） 若是在均方持续，称在上均方持续。 均方持续判定准则 二阶矩进程在均方持续的充分必要条件是在处持续。 均方导数 阶矩进程称为在处均方可微，若是 （均方收敛） 存在，此极限记为称为在处的均方导数。 均方可微准则 在处的均方导数的充要条件是在处广义二次可微。 随机进程均方积分 若是随机进程是概念在上的二阶矩进程，将区间划分为各点，即，设，是上任意一点，，令，对于和式 当在均方意义下极限存在，即 且极限与划分无关，称在区间上可积，积分记为。 均方可积准则 在区间上均方可积的充要条件是下列普通的二重积分存在 由于Brown运动在闭区间上的二次全变差有界，所以积分是成心义的。 §4. 2 Brown运动的Ito随机积分 设是标准Brown运动，随机进程是概念在上知足：1）是关于适应的，即是的函数； 2），， 将区间划分为各点，即，设，是的左端点，，令， 概念Riemann-Stieltjes和 若是在均方意义下存在，即存在随机变量知足 则称为关于Brown运动的Ito积分。 注：上述积分的概念中Riemann-Stieltjes和当选用的是左端点，若是选用任意点（有端点或中点），是上任意一点概念Riemann-Stieltjes和，取得的积分可能不同。 Ito积分的性质： 随机进程是关于，的鞅进程。 Doob 不等式 知足等距性，即 ， 知足线性性 积分区间的可加性 特别1）若是随机进程为标准Brown运动，则有 证明：注意到 由Brown运动性质 2）若是随机进程退化为持续可微函数，则积分进程是正态进程，且有 ， 3）对任意两的持续可微函数，，有 对任意，利用Brown运动的独立增量性可得 4）若是随机进程退化为简单进程，如 则在区间，相应的Ito积分为 概念4.2.1 给定一个域流，若是对所有的，是可测的，其中，则称随机进程是。 定理4.2.1 设是由标准Brown运动生成的域流，假设 则存在一个线性映射，它把中的函数映射到概念在上的持续鞅空间上，知足 若是是如下形式的函数（简单函数），即， 其中，，，当时，，是可测的随机变量，且。 则 若是，那么有 概念4.2.2 对，记 称为进程关于Brown运动的Ito 积分。 §4. 3 持续鞅（半鞅）的随机积分 本节将上节中的Brown运动随机积分推行到一般的持续鞅（持续半鞅）的随机积分。 概念4.3.1给定一个域流，若是概念在上随机进程是适应的，即对所有的，是可测的，而且知足 1） 2）对任意，有 ， 则称是鞅。 持续鞅的二次变差进程 概念4.3.2 设是持续鞅，与相对应的二次变差进程是，知足对任意划分，即，设， ，令，当时有， ，当 记为 特别，标