赵树嫄-微积分（第五版）第一章 函数.pptVIP

(三) 全集与空集 (四) 子集 (五) 集合的运算 (六) 集合运算律 集合元素的计数问题： (七) 集合的笛卡尔乘积 第二节 实数集 (二) 实数的绝对值 (三) 区间 (四) 邻域 第三节 函数关系 (二) 定义域的确定 (三) 隐函数 第四节 分段函数 第五节 建立函数关系的例题 第六节 函数的几种简单性质 (二) 函数的周期性 (三) 函数的单调性 (四) 函数的有界性 第七节 反函数与复合函数 (二) 复合函数 第八节 初等函数 6、反三角函数 END 奇函数 奇函数的图形关于原点对称。 y x o x -x 例1 判断下列函数的奇偶性： 偶函数 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 解 所以 f (x) 为奇函数。 例2 判断下列函数的奇偶性： 例3 是偶函数；而 是奇函数。 证明是容易的。 由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和： (通常周期函数的周期是指其最小正周期). 注意：并非任意周期函数都有最小正周期。 例如, 函数 y = x 3 在(-?, +?)内单调增加。 而函数 y = x 2 在区间(-?, 0)内单调减少；在区间(0, +?)内单调增加。 M -M b a 因为存在 M =1，使对任意x?(-?,+?)，有 |sin x| ? 1，所以 y = sinx 是 (-?, +?) 内的有界函数。 y = sinx 有界吗? 什么叫“无界”？ 有界： (一) 反函数 定义 设函数y = f (x) 的定义域为D，值域为Z。如果对于每个 y?Z，存在唯一 x?D，使 f (x) = y，则 x 是一个定义在 Z 上的函数，称为 y = f (x) 的反函数，记为 x = f –1 ( y )。 函数 y = f (x) 与函数 x = f –1 (y) 互为反函数。 将 x 与 y 互换，就得所求反函数为 例1 求 y = 3x –1 的反函数。 解 例2 解 两式相减，得 例如，在(-?, +?)内，y = x2 不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。 一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。 在 (0, +?) 内 y = x2 有反函数 在 (-?, 0) 内，y = x2 有反函数 x -x y 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称. 例如： 可以复合成 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 不能复合。 和 u 称为中间变量。 注意复合次序： 复合可以多次进行。 例1 重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。 例3 例2 的复合。 基本初等函数： 1、常数函数 常函数的定义域为(-?, +?)，图形为平行于x轴, 在y轴上截距为C的直线。 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2、幂函数 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2、幂函数 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2、幂函数 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2、幂函数 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2、幂函数 3、指数函数 定义域为(-?, +?)，值域为(0, +?)， 都通过点(0, 1), 当a1时，函数单调增加； 当0a1时，函数单调减少。 4、对数函数 对数函数是指数函数y = ax的反函数, 定义域为(0,+?),图形通过(1, 0)点, 当 a1 时, 函数单调增加； 当 0a1时, 函数单调减少。 正弦函数 余弦函数 y = sin x与y = cos x的定义域均为(-?, +?)，均以2p为周期。y = sin x为奇函数，y = cos x为偶函数。它们都是有界函数。 5、三角函数 (一) 实数与数轴 实数 有理数 无理数 整数 分数 (无限不循环小数) 正整数 零 负整数 实数与数轴上的点是一一对应的。 有理数: 其中p,q为既约整数,且 数轴 设 a 为一实数，则其绝对值定义为 几何意义：| a | 表示数轴上点 a 到原点的距离。