二次函数压轴题之菱形存在性问题.docx

PAGE PAGE 10 菱形存在性问题 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： 有一组邻边相等的平行四边形菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四边都相等的四边形是菱形． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形 ABCD 是菱形，则其 4 个点坐标需满足： ? x ? x ? A C ? x ? x B D ? y ? y ? A C ? y ? y ?x ?x C ? x ?2 ? ?y ? y ?2 B C B ?? ?x ? x ?2 ? ?y ? y ?2 ? A B A B 考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1 在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3 个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3 个未知量，与矩形相同． 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有 2 个动点，多则有 3 个动点，可细分如下两大类题型： （1）2 个定点+1 个半动点+1 个全动点 （2）1 个定点+3 个半动点 解决问题的方法也可有如下两种： 思路 1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组． 思路 2：先等腰，再菱形 在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第 3 个点，再确定第 4 个点． 1．看个例子： yBAOx如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点 C 在 x 轴上，点 D 在平面中，求 D 点坐标，使得以 A、B、 y B A O x 思路 1：先平四，再菱形 设 C 点坐标为（m，0），D 点坐标为（p，q）． 当 AB 为对角线时，由题意得：（AB 和 CD 互相平分及 AC=BC） ?m ? 39 ?1 ? 5 ? m ? p ??1 ? 4 ? 0 ? q ? ? 8 ? ?，解得： ? p ? 9 ? ? ? 8 ???m ? 1?2 ? ?0 ? 1?2 ? ?m ? 5?2 ? ?0 ? 4?2 ?q ? 5 ?? 当 AC 为对角线时，由题意得：（AC 和 BD 互相平分及 BA=BC） ? ??1 ? m ? 5 ? p ?m ? 2 ?m ? ? ? ???1 ? 0 ? 4 ? q ? ? ，解得： ? p ? ?2 或? p ? 4 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?q ? ?3 ?q ? ?3 ?? 1 ? 5 ? 1 ? 4 ? m ? 5 ? 0 ? 4 当 AD 为对角线时，由题意得： ?1 ? p ? 5 ? m ? ? 66?m ? 1 ? 2 ?m ? 1 ? 2 6 6 66? ? ? 6 6 ??1 ? q ? 4 ? 0 ，解得： ? p ? 5 ? 2 或? p ? 5 ? 2 ? ?1 ? 5?2 ? ?1 ? 4?2 ? ?1 ? m?2 ? ?1 ? 0?2 ?q ? 3 ?q ? 3 ?? ?? ?? yBA y B A O C x D y B A C O x D yDBA y D B A O C x y B D A O C x B D A C O x 思路 2：先等腰，再菱形 先求点 C，点 C 满足由 A、B、C 构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定 C，再确定 D 点． 当 AB=AC 时， C 点坐标为?1 ? 2 6,0 ?，对应 D 点坐标为?5 ? 2 6,3 ?； C 点坐标为?1 ? 2 6,0 ?，对应 D 点坐标为?5 ? 2 6,3 ?． 当 BA=BC 时， C 点坐标为（8，0），对应 D 点坐标为（4，-3）； C 点坐标为（2，0），对应 D 点坐标为（-2，-3）． AC=BC 时， C 点坐标为? 39 ,0 ? ，D 点坐标为? 9 ,5 ? ． ? 8 ? ? 8 ? ? ? ? ? yy y y B B D D A A C C O C x O C x D D y D B A O C x 以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法． 【两定两动：坐标轴+平面】 （2019·齐齐哈尔中考删减）综合与探究 如图，抛物线 y ? x2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA=2，OC=6，连接 AC 和 BC． 求抛物线的解析式； 若点M 是 y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N 为顶点的四边形是