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2010 年第二届全国大学生数学竞赛初赛
(数学类)试卷
一 (本题共10 分)设 0,1)( ,x a,x si (
0 a nx n0,1,2).
n1 n
证明 存在, 为方程 x a的唯一根.
lim xn x sin
n
0 10 30
二、(本题共 15 分)设B 0 0 2010 . 证明X B2 无解,这里X为三阶未知复方
0 0 0
阵.
2
三、(本题共 10 分)设D 是凸区域,函数fxy( , )是凸函数. 证明或否定:fxy( , )在D
上连续.
注:函数fxy, )( 为凸函数的定义是 0,1)( 以及(x ,y ),(x ,y )D1 ,成立
1 2 2
f x (1)x ,y (1)y )fx( ,y )(1)fx( ,y )( .
1 2 1 2 1 1 2 2
四、(本题共 10 分) 设fx)( 在 0 上黎曼(Riemann)可积,在x 1可导,f 1)0,(
,1
1
. 证明: 2 n
x fx( )dx a.
f 1)a( lim n 0
n
五 (本题共15 分)已知二次曲面 化)过以下九点
(非退 :
A1,0,0),B(1,1,2),C(1,1,2),D(3,0,0),E(3,1,2),(
F(3,2,4),G(0,1,4),H(3,1,2),I(5,2 2,8).
问 是哪一类曲面?
六 、( 本 题 共 20 分 ) 设 A为 nn实矩阵(未必对称),对任一 n 维实向量
T T
这里 示 转置),且存在 n 实向量 得
( ,, ),A 0 ( 表 的 维 使
1
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