第5届全国大学生数学竞赛数学类初赛试卷和答案（2013年）.pdfVIP

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2023-05-14 发布于天津
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第5届全国大学生数学竞赛数学类初赛试卷和答案（2013年）.pdf

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2013 年第五届全国大学生数学竞赛初赛（数学类）试卷 2 P 一、（本题 15 分）平面上两个半径为的圆外切于点，将圆沿的圆周（无 R r C ,C C C 1 2 2 1 P P 滑动）滚动一周，这时C 上的点也随C 的运动而运动。记为点的运动轨迹曲线，称  2 2 为心脏线。现设 C为以 P 的初始位置（切点）为圆心的圆，其半径为 R 。记 2 2 C 2  :R   R   为圆的反演变换，它将QR \ P 映成射线PQ上         的点 ，满足  2 求证：为抛物线。 Q PQPQ R .     二、（本题 10 分）设阶方阵和n1矩阵分别为 n Bt() bt() T Bt() b t ,bt  b (),t ,b ()t ,  ij      1 n  其中均为关于的实系数多项式，。记为的行列式， b t ,b t t ij, 1,2,,n d()t Bt() ij    i d()t bt() Bt() i n d()t t 为用替代的第列后所得的阶矩阵的行列式。若有实根，使得 i 0 Bt( )X bt 成为关于X的相容线性方程组，试证明：d t ,d(),t ,d ()t 必有次数     0 0 1 n 大于等于 1 的公因式。三、（本题 15 分）设 fx( )在区间 [0,a]上有二阶连续导数，   且