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液压系统的数学模型 冷轧厂维点车间 王 奇 摘要 通过对液压系统数学模型的分析，简便研究液压系统运动的特性。有利于分析液压故障，及时处理液压系统运行中发生的故障。 关键词 液压系统 数学模型 运动特性 平衡方程 高阶微分方程 一、概述 应用数学分析方法研究实际系统，就必须采用数学方法对实际系统作出描述，即必须建立实际系统的数学模型。所谓实际系统的数学模型是指对实际系统的内部特性以及实际系统与外部联系的一种数学描述。对某一个系统，由于采用的数学方法多种多样，因此其数学模型表示方法也是多种多样的。但是由于实际的物理系统是不变的，因此尽管表达这个系统的数学模型表面形式不一样，但其实质是一样的，都代表了这一个或这一类的系统的内部特征及其与外部的联系。正因为如此同一系统的各种数学模型表达方法之间是可以相互转换的。 液压系统是一种物理系统，同样可以用数学方法进行描述，即可以建立其数学模型。常用于描述液压系统的数学模型有高阶微分方程、传递函数、方块图、状态空间表达式等等，但是它们之间是可以相互转换的。在这里将通过剖析一个实际液压系统——四通阀控制双出杆液压缸——来分析液压系统高阶微分方程数学模型的表达方法。下图便是四通阀控制双出杆液压缸系统，该系统的特性取决于阀和液压缸的特性并与负载有关。假如负载由质量、弹簧及粘性阻尼构成。为使问题简化，避免非线性因素出现，采用线性化分析方法，即研究某一稳态工作点附近作微小运动时的系统输出量与输入量之间的关系。 二、高阶微分方程数学模型 用高阶微分方程描述液压系统是一种最基本最直接的方法，也是其它描述的基础。对于上图所示系统，可按如下步骤建立其高阶微分方程模型。 控制元件方程 如上图所示，流入液压缸及流出液压缸的流量分别： =，= 式中 Cv：阀口流量系数；：阀口面积梯度；：阀芯位移；：液压油密度；：油源油压；：液压缸工作腔油压；：液压缸回油腔油压。 在动态分析中及考虑到泄漏的存在，≠，为此定义负载流量 ＝＝ 由于＝－,＝+,于是有：＝（+）/2,＝（－）/2 将P1、P2代入Qf表达式并作线性化处理后得 ＝－ 式中 ＝－； ＝，流量增益系数； ＝，流量—压力系数； 为便于书写，采用如下形式表示阀的流量方程：＝－ （2－1） 液压缸的流量连续方程 (1) 进油流量 流入液压缸的流量可用下式表示： 式中：活塞有效面积；：活塞位移；：油液有效弹性模量，一般取＝7000； ：油缸内泄漏系数；：油缸外泄漏系数；：进油侧高压腔总容积。 （2）回油流量 流出液压缸的流量可用下式表示： 式中 ：回油侧总溶积。我们可以定义： 因为， 所以， 故有， 式中 ，进回油侧总容积。 令 ，为总泄漏系数。 于是可将流量连续性方程整理为： （2－2） 液压缸的负载力平衡方程 由于液压缸输出力与外负载平衡，则有 （2－3） 式中 ：负载总质量；：活塞与负载运动时的粘性阻尼系数；：负载弹簧刚度； ：外干挠力。 由以上（2－1）、（2－2）和（2－3）三式可求得： ＝ （2－4） 式中 ，总压力流量系数。 式（2－4）便是用微分方程表示的四通阀控制双出杆油缸的动态模型。从式中可以看出，油缸的输出是由于阀芯位移和挠动负载联合作用引起的，如果挠动负载为零，则油缸输出完全由阀芯位移引起，此时模型可写成： ＝ 如果阀芯位移为零，则完全是因为挠动负载干扰引起，此时模型可写成： ＝ 分析一下上两式可以发现，对于单输入单输出系统，其数学模型可用一微分方程表示，但方程左边为输出量各阶导数的代数和，方程右边为输入量的各阶导数和。据此，推广到一般情况，便可直接写出单输入和单输出系统的微分方程的数学模型的通用表达式如下： （2－5） 式中 、分别表示系统的输入量和输出量；、为系数。 对于实际系统一般有，在初始条件给定情况下，当输入已知时，就可用上式求出动态响应，式（2－5）是分析和研究控制系统的依据。 由于在模型的建立过程中忽略了分布参数（如弹簧质量等）以及非线性因素（对于非线性因素作了线性化处理）的影响，因此这种模型一般上运用于低频系统。但是液压系统大多数是属于低频控制系统，因而对于一般液压系统均可用微分方程来表达其运动特性，即可采用微分方程数学模型。液压系统数学模型之间是可以相互转换的，在对系统进行分析时，根据所使用的方法不同，而确定系统模型的表示方法，以简化系统分析。 参考文献 何铖编，现代控制理论基础，机械工业出版社，1988。 王占林编，液压系统控制，北京航空学院出版社，1987。 周连山、庄显义编，液压系统的计算机仿真，国防工业出