角平分模型（最全最详细）.docxVIP

几何模型05——角平分线模型 角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法： 一、角平分线+两边垂线→全等三角形： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等； 已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B； 辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B； 结论：① △ACD≌△ABD；② CD=DB 证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠1=∠2，∵CD⊥AC，DB⊥AB， ∴∠ACD=∠ABD=90°， 在△ACD和△ABD中， ∴△ACD≌△ABD（AAS）∴CD=BD 例1.已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC． 练习1.如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：BE=CF． 二、角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现： 遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N； 结论：① △OPM≌△OPN ； ② △OMN为等腰三角形； ③ P是MN的中点（三线合一）； 练习1.如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD， 作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：2AM=（AB+AC） 三、在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形： 已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点； 辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE， 结论：△OED≌△OFD ； CABDE例1.如图，在中，平分，， C A B D E 求：的值． 解法1：在上截取使，连结． 解法2：延长到，使，连结．请试一试． 四、角平分线+平行线＝等腰三角形 ① 以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形； ② 过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形； 已知：OP平分∠MON，AB∥ON， 已知：OC平分∠AOD，DH∥OC， 结论： △OAB等腰三角形 结论： △ODH等腰三角形 五、双角平分线模型（导角模型） 【模型图示】条件：BD，CD是角平分线. 练习1.△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长； 课后练习