一线三等角模型.docxVIP

几何模型04——一线三等角 一、一线三等角（45度） 基本图形： 例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，求m的值 　． 解：作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图， 由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）． 所以OA＝OB， 则∠OBA＝∠OAB＝45°． 当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°， 所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．所以m＞0． 因为∠CPA＝∠ABO＝45°， 所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°， 即∠OPC＝∠BAP， 则△PCD∽△APB， 所以＝，即＝， 解得m＝12． 例2.如图，△ABC中，AB＝3，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，点D在BC上，点E在AC上，若CE＝2，求CD的长 解：过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，过点E作EG⊥CD， ∵∠B＝∠ADE＝45°，∴∠BAD＝∠EDF， ∴△ABD∽△DFE，∴， ∵△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD， ∵AB＝3，∴DF＝3， ∵∠EFD＝45°，∠AED＝45°， ∴∠EFC＝∠DEC＝135°， ∴△EFC∽△DEC， ∴，∵EC＝2， ∴EC2＝FC?CD＝FC?（3+FC），∴（2）2＝FC（3+FC）， ∴FC2+3FC﹣20＝0，解得：FC＝﹣5（舍）或2． ∴CD＝DF+FC＝2+3＝5 练习1.已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，求OC 提示： 练习2.如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，求点P的坐标． 二、一线三等角（60度） 基本图形： 例3.如图，正△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，∠APD＝60°，BP＝1，，则△ABC的边长为　 　． 解：设△ABC的边长为x，∵△ABC是等边三角形， ∴∠DCP＝∠PBA＝60°． ∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠BAP+∠ABP，∠APD＝60°， ∴∠BAP＝∠CPD．∴△ABP∽△CPD． ∴，∴＝． ∴x＝3．即△ABC的边长为3． 练习3.如图，△ABC为等边三角形，D是BC边上一点，在AC边上取一点F，使CF＝BD，在AB上取一点E，使BE＝DC，则∠EDF＝　 　． 三、一线三垂直 基本图形： 例4.（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，点A（0，3），C（1，0），求点B的坐标； （2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，点A（﹣1，0），C（1，3），求点B的坐标； （3）如图3，△ABC为等腰直角三角形，AC＝AB，AC⊥AB，点B（2，2），C（4，﹣2），求点A的坐标． 解：（1）如图，作BD⊥x轴于D点， ∵BD⊥x轴于D点，∴∠AOC＝∠CDB＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCD＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BCD， 在△AOC和△CDB中，， ∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO，OC＝BD，∵点C（1，0），A（0，3）， ∴OC＝1，BD＝1，CD＝3，∴OD＝4，∴点B的坐标为（4，1）； （2）如图2，过点C作直线l∥x轴，作AE⊥l于E，BF⊥l于F， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠AEC＝∠ACB＝∠BFC＝90°， ∴∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠EAC＝∠BCF，在△AEC和△CFB中， ，∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴AE＝CF＝3，BF＝EC＝2，∴EF＝5， ∴点B的坐标为（4，1）； （3）如图3，过点A作直线l∥y轴，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠BEA＝∠CFA＝90°＝∠BAC， ∴∠BAE+∠CAF＝90°＝∠BAE+∠ABE， ∴∠ABE＝∠CAF，在△ABE和△CAF中， ，∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝AF，CF＝BE，设点A（m，n），∵点B（2，2），C（4，﹣2），∴2﹣n＝4﹣m，n+2＝2﹣m，∴m＝1，n＝﹣1， ∴点A的坐标为（1，﹣1） 练习4.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B， 最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平 距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　） A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米 例5.已知直线l1：y＝﹣x+4与x、y轴分